Номер 25, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите уравнение:

1) $\log_5 x = 3$;

2) $\log_{\sqrt{7}} x = 6$;

3) $\log_3 x = 0$;

4) $\log_x 64 = 3$;

5) $\log_{x-2} 100 = 2$;

6) $\log_x 16 = \frac{4}{5}$.

1) По определению логарифма $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Применим это к уравнению $\log_5 x = 3$.
$x = 5^3$
$x = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Ответ: 125

2) Используем определение логарифма для уравнения $\log_{\sqrt{7}} x = 6$.
$x = (\sqrt{7})^6$
Так как $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, то $x = (7^{\frac{1}{2}})^6 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 7^3$.
$x = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
Ответ: 343

3) По определению логарифма для уравнения $\log_3 x = 0$.
$x = 3^0$
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
$x = 1$
Ответ: 1

4) По определению логарифма для уравнения $\log_x 64 = 3$.
$x^3 = 64$
Нужно найти число, куб которого равен 64. Это число 4.
$x^3 = 4^3$
$x = 4$
Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1. $x=4$ удовлетворяет этим условиям.
Ответ: 4

5) По определению логарифма для уравнения $\log_{x-2} 100 = 2$.
$(x-2)^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x-2 = 10$ или $x-2 = -10$
$x_1 = 12$
$x_2 = -8$
Основание логарифма $x-2$ должно быть больше 0 и не равно 1.
Проверим условия: $x-2 > 0 \implies x > 2$ и $x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$.
Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет этим условиям ($12 > 2$ и $12 \neq 3$).
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: 12

6) По определению логарифма для уравнения $\log_x 16 = \frac{4}{5}$.
$x^{\frac{4}{5}} = 16$
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{4}$:
$(x^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{4}} = 16^{\frac{5}{4}}$
$x = (\sqrt[4]{16})^5$
Так как $\sqrt[4]{16} = 2$, получаем:
$x = 2^5 = 32$
Основание логарифма $x=32$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x \neq 1$.
Ответ: 32