Номер 31, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Сравните:

1) $\log_8 13$ и $\log_8 14$;

2) $\log_{0,9} 8$ и $\log_{0,9} 7$;

3) $\log_5 600$ и 4;

4) $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $-\frac{1}{5}$.

1) Для сравнения чисел $\log_8 13$ и $\log_8 14$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.
Основание логарифмов $a = 8$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы логарифмов: $13 < 14$.
Поскольку функция возрастающая, то из неравенства $13 < 14$ следует, что $\log_8 13 < \log_8 14$.
Ответ: $\log_8 13 < \log_8 14$.

2) Для сравнения чисел $\log_{0,9} 8$ и $\log_{0,9} 7$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0,9} x$.
Основание логарифмов $a = 0,9$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы логарифмов: $8 > 7$.
Поскольку функция убывающая, то из неравенства $8 > 7$ следует, что $\log_{0,9} 8 < \log_{0,9} 7$.
Ответ: $\log_{0,9} 8 < \log_{0,9} 7$.

3) Для сравнения $\log_5 600$ и $4$ представим число $4$ в виде логарифма с основанием $5$.
По определению логарифма, $4 = \log_5 5^4$.
Вычислим $5^4$: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Таким образом, $4 = \log_5 625$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $\log_5 600$ и $\log_5 625$.
Основание $a=5 > 1$, значит, функция $y = \log_5 x$ возрастающая. Сравним аргументы: $600 < 625$.
Следовательно, $\log_5 600 < \log_5 625$, а значит $\log_5 600 < 4$.
Ответ: $\log_5 600 < 4$.

4) Для сравнения $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $-\frac{1}{5}$ представим число $-\frac{1}{5}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{32}$.
По определению логарифма, $-\frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{32}} \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{1}{5}}$.
Упростим выражение в аргументе логарифма: $\left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{1}{5}} = (32^{-1})^{-\frac{1}{5}} = 32^{(-1) \cdot (-\frac{1}{5})} = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$.
Таким образом, $-\frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{32}} 2$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $\log_{\frac{1}{32}} 2$.
Основание $a = \frac{1}{32}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, значит, функция $y = \log_{\frac{1}{32}} x$ убывающая.
Сравним аргументы: $3 > 2$.
Так как функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма: $\log_{\frac{1}{32}} 3 < \log_{\frac{1}{32}} 2$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{32}} 3 < -\frac{1}{5}$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{32}} 3 < -\frac{1}{5}$.