Номер 36, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_7(8 - x)$

Б) $y = \log_{8-x} 7$

В) $y = \log_{x+1}(8 - x)$

Г) $y = \log_{8-x}(x + 1)$

Области определения

1) $(-\infty; 7) \cup (7; 8)$

2) $(-1; 0) \cup (0; 8)$

3) $(-1; 7) \cup (7; 8)$

4) $(-\infty; 8)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции вида $y = \log_a(b)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие три условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

Применим эти правила к каждой из предложенных функций.

А) $y = \log_{7}(8 - x)$

Основание логарифма $a = 7$ является константой, которая удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Следовательно, нужно учесть только условие для аргумента $b = 8 - x$:
$8 - x > 0$
$-x > -8$
$x < 8$
Область определения: $(-\infty; 8)$. Это соответствует варианту ответа 4.
Ответ: 4

Б) $y = \log_{8-x}(7)$

Аргумент логарифма $b = 7$ является константой, которая удовлетворяет условию $b > 0$. Необходимо рассмотреть условия для основания $a = 8 - x$:
1) $8 - x > 0 \implies x < 8$
2) $8 - x \neq 1 \implies x \neq 7$
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом меньше 8, кроме 7. Область определения: $(-\infty; 7) \cup (7; 8)$. Это соответствует варианту ответа 1.
Ответ: 1

В) $y = \log_{x+1}(8 - x)$

В этой функции и основание, и аргумент зависят от $x$. Запишем систему условий:
$\begin{cases} 8 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство в системе:
$\begin{cases} x < 8 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Объединяя все условия, получаем: $-1 < x < 8$ и $x \neq 0$. Область определения: $(-1; 0) \cup (0; 8)$. Это соответствует варианту ответа 2.
Ответ: 2

Г) $y = \log_{8-x}(x + 1)$

В этой функции также и основание, и аргумент зависят от $x$. Запишем систему условий:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \\ 8 - x \neq 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство в системе:
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 8 \\ x \neq 7 \end{cases}$
Объединяя все условия, получаем: $-1 < x < 8$ и $x \neq 7$. Область определения: $(-1; 7) \cup (7; 8)$. Это соответствует варианту ответа 3.
Ответ: 3

Итоговая таблица соответствия: