Номер 30, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$;

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$;

3) $y = \log_7 \log_{4-x} (4-x)^{49}$;

4) $y = \log_2 x \cdot \log_x \frac{1}{32}$.

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$

Функция определена, когда выражение под знаком логарифма положительно. Десятичный логарифм $\lg(x-1)$ имеет смысл при $x-1 > 0$, то есть при $x > 1$.
Область определения функции (ОДЗ): $x \in (1, +\infty)$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (здесь $a=10$, $b=x-1$), упростим функцию:
$y = 10^{\log_{10}(x-1)} = x-1$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x-1$ при условии $x > 1$.
Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ (сама точка не включена, так как неравенство строгое) и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x-1$ с началом в точке $(1, 0)$, не включая эту точку.

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$

Функция определена, когда основание логарифма положительно и не равно единице, а выражение под знаком логарифма положительно.
Область определения функции (ОДЗ) задается системой неравенств:
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x+2 \neq 1 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, при $x$ из области определения получаем $y = 1$.
Следовательно, график функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками, которые не входят в ОДЗ.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ при $x > -2$ с выколотой точкой $(-1, 1)$. Это два луча: один на интервале $(-2, -1)$, другой на интервале $(-1, +\infty)$.

3) $y = \log_7 \log_{4-x} (4-x)^{49}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для внутреннего логарифма $\log_{4-x} (4-x)^{49}$:
- Основание $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
- Основание $4-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 3$.
- Аргумент $(4-x)^{49} > 0 \Rightarrow 4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
2. Для внешнего логарифма $\log_7(\dots)$:
- Его аргумент, то есть $\log_{4-x} (4-x)^{49}$, должен быть больше нуля.
Упростим аргумент внешнего логарифма, используя свойство $\log_b a^c = c \log_b a$:
$\log_{4-x} (4-x)^{49} = 49 \log_{4-x} (4-x)$.
На найденной части ОДЗ ($x < 4, x \neq 3$) $\log_{4-x}(4-x) = 1$.
Значит, аргумент внешнего логарифма равен $49 \cdot 1 = 49$.
Проверяем условие $49 > 0$. Это верно.
Итоговая ОДЗ: $x < 4$ и $x \neq 3$, то есть $x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4)$.
Теперь упростим саму функцию на её области определения:
$y = \log_7(49) = \log_7(7^2) = 2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2$, определенная на множестве $(-\infty, 3) \cup (3, 4)$. Это луч, ограниченный справа точкой $(4, 2)$ (не включая ее), с выколотой точкой $(3, 2)$.

4) $y = \log_2 x \cdot \log_x \frac{1}{32}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_2 x$: аргумент $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{32}$:
- Основание $x > 0$.
- Основание $x \neq 1$.
- Аргумент $\frac{1}{32} > 0$, что всегда верно.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, то есть $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Преобразуем функцию, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 2:
$\log_x \frac{1}{32} = \frac{\log_2 (1/32)}{\log_2 x}$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = \log_2 x \cdot \frac{\log_2 (1/32)}{\log_2 x}$.
На ОДЗ $\log_2 x \neq 0$, поэтому можно сократить:
$y = \log_2 (\frac{1}{32}) = \log_2(2^{-5}) = -5$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -5$ при $x > 0$ и $x \neq 1$. Это два луча: один на интервале $(0, 1)$, другой на интервале $(1, +\infty)$.