Страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2} \log_2 32;$

2) $\log_4 \cos \frac{\pi}{4};$

3) $\log_{169} 13 - \log_3 \frac{1}{81} + 9 \log_3 \sqrt[3]{3};$

4) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9;$

5) $\log_7 147 - \log_7 3;$

6) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2};$

7) $\log_{\sqrt{3}} 243;$

8) $5^{4\log_5 10};$

9) $64^{1 - \log_4 6};$

10) $13^{\frac{3}{\lg 13}}.$

1) $\log_{0,2} \log_2 32$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_2 32$. Так как $32 = 2^5$, то $\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5$.

Теперь выражение принимает вид $\log_{0,2} 5$.

Основание логарифма $0,2$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{5}$ или $5^{-1}$.

Получаем $\log_{5^{-1}} 5$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, имеем:

$\log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} \log_5 5 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $-1$

2) $\log_4 \cos\frac{\pi}{4}$

Сначала найдем значение $\cos\frac{\pi}{4}$. Из тригонометрии известно, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выражение принимает вид $\log_4 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Представим основание 4 и аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степеней числа 2.

$4 = 2^2$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2}$

Подставляем в исходное выражение: $\log_{2^2} (2^{-1/2})$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{2^2} (2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{2} \log_2 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

3) $\log_{169} 13 - \log_3 \frac{1}{81} + 9\log_3 \sqrt[3]{3}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. $\log_{169} 13 = \log_{13^2} 13 = \frac{1}{2} \log_{13} 13 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 (81^{-1}) = \log_3 ((3^4)^{-1}) = \log_3 (3^{-4}) = -4$.

3. $9\log_3 \sqrt[3]{3} = 9\log_3 (3^{1/3}) = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 3 = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 3$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $\frac{1}{2} - (-4) + 3 = \frac{1}{2} + 4 + 3 = 7 + \frac{1}{2} = 7,5$.

Ответ: $7,5$

4) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$.

$\log_{12} 16 + \log_{12} 9 = \log_{12} (16 \cdot 9) = \log_{12} 144$.

Так как $144 = 12^2$, получаем:

$\log_{12} 144 = \log_{12} (12^2) = 2$.

Ответ: $2$

5) $\log_7 147 - \log_7 3$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.

$\log_7 147 - \log_7 3 = \log_7 (\frac{147}{3}) = \log_7 49$.

Так как $49 = 7^2$, получаем:

$\log_7 49 = \log_7 (7^2) = 2$.

Ответ: $2$

6) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В нашем случае формула применена в обратную сторону.

$\frac{\log_6 128}{\log_6 2} = \log_2 128$.

Так как $128 = 2^7$, получаем:

$\log_2 128 = \log_2 (2^7) = 7$.

Ответ: $7$

7) $\log_{\sqrt{3}} 243$

Представим основание $\sqrt{3}$ и аргумент 243 в виде степеней числа 3.

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$243 = 3^5$

Подставляем в исходное выражение: $\log_{3^{1/2}} (3^5)$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{3^{1/2}} (3^5) = \frac{5}{1/2} \log_3 3 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$

8) $5^{4\log_5 10}$

Используем свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$4\log_5 10 = \log_5 (10^4) = \log_5 10000$.

Теперь выражение принимает вид $5^{\log_5 10000}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 10000} = 10000$.

Ответ: $10000$

9) $64^{1-\log_4 6}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$64^{1-\log_4 6} = \frac{64^1}{64^{\log_4 6}}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 64 как степень 4: $64 = 4^3$.

$64^{\log_4 6} = (4^3)^{\log_4 6} = 4^{3\log_4 6}$.

Используя свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$, получаем:

$4^{3\log_4 6} = 4^{\log_4 (6^3)} = 4^{\log_4 216}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $4^{\log_4 216} = 216$.

Возвращаемся к дроби: $\frac{64}{216}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$\frac{64 \div 8}{216 \div 8} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$

10) $13^{\frac{3}{\lg 13}}$

Запись $\lg 13$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 13$.

Выражение имеет вид $13^{\frac{3}{\log_{10} 13}}$.

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{3}{\log_{10} 13} = 3 \cdot \frac{1}{\log_{10} 13} = 3 \log_{13} 10$.

Теперь используем свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$3 \log_{13} 10 = \log_{13} (10^3) = \log_{13} 1000$.

Подставляем полученное выражение в показатель степени: $13^{\log_{13} 1000}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$13^{\log_{13} 1000} = 1000$.

Ответ: $1000$

25. Решите уравнение:

1) $\log_5 x = 3$;

2) $\log_{\sqrt{7}} x = 6$;

3) $\log_3 x = 0$;

4) $\log_x 64 = 3$;

5) $\log_{x-2} 100 = 2$;

6) $\log_x 16 = \frac{4}{5}$.

1) По определению логарифма $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Применим это к уравнению $\log_5 x = 3$.
$x = 5^3$
$x = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Ответ: 125

2) Используем определение логарифма для уравнения $\log_{\sqrt{7}} x = 6$.
$x = (\sqrt{7})^6$
Так как $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, то $x = (7^{\frac{1}{2}})^6 = 7^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 7^3$.
$x = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
Ответ: 343

3) По определению логарифма для уравнения $\log_3 x = 0$.
$x = 3^0$
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
$x = 1$
Ответ: 1

4) По определению логарифма для уравнения $\log_x 64 = 3$.
$x^3 = 64$
Нужно найти число, куб которого равен 64. Это число 4.
$x^3 = 4^3$
$x = 4$
Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1. $x=4$ удовлетворяет этим условиям.
Ответ: 4

5) По определению логарифма для уравнения $\log_{x-2} 100 = 2$.
$(x-2)^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x-2 = 10$ или $x-2 = -10$
$x_1 = 12$
$x_2 = -8$
Основание логарифма $x-2$ должно быть больше 0 и не равно 1.
Проверим условия: $x-2 > 0 \implies x > 2$ и $x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$.
Корень $x_1 = 12$ удовлетворяет этим условиям ($12 > 2$ и $12 \neq 3$).
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: 12

6) По определению логарифма для уравнения $\log_x 16 = \frac{4}{5}$.
$x^{\frac{4}{5}} = 16$
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{4}$:
$(x^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{4}} = 16^{\frac{5}{4}}$
$x = (\sqrt[4]{16})^5$
Так как $\sqrt[4]{16} = 2$, получаем:
$x = 2^5 = 32$
Основание логарифма $x=32$ удовлетворяет условиям $x>0$ и $x \neq 1$.
Ответ: 32

26. Решите уравнение:

1) $6^x = 11;$

2) $5^{x+3} = 19;$

3) $8^{3x-2} = 7.$

1) Дано показательное уравнение $6^x = 11$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма. Если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Применяя это определение к нашему уравнению, где $a=6$, $y=x$ и $b=11$, получаем:

$x = \log_6 11$.

Это и есть решение уравнения.

Ответ: $x = \log_6 11$.

2) Дано показательное уравнение $5^{x+3} = 19$.

По определению логарифма, показатель степени равен логарифму правой части по основанию степени. В данном случае, показатель степени это $x+3$, основание – 5, а правая часть – 19.

Таким образом, мы можем записать:

$x + 3 = \log_5 19$.

Чтобы найти $x$, перенесем 3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = \log_5 19 - 3$.

Ответ: $x = \log_5 19 - 3$.

3) Дано показательное уравнение $8^{3x-2} = 7$.

Используем определение логарифма, как и в предыдущих случаях. Показатель степени $3x-2$ равен логарифму числа 7 по основанию 8.

$3x - 2 = \log_8 7$.

Теперь мы имеем линейное уравнение относительно $x$. Решим его.

Сначала добавим 2 к обеим частям уравнения:

$3x = \log_8 7 + 2$.

Затем, разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\log_8 7 + 2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\log_8 7 + 2}{3}$.

27. Найдите значение выражения:

1) $(\log_8 128 - \log_8 2 + 10^{\log 4})^{\log_6 10}$;

2) $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$.

1) $(\log_8 128 - \log_8 2 + 10^{\lg 4})^{\log_6 10}$

Решим данное выражение по частям, начав с выражения в скобках.

1. Упростим разность логарифмов, используя свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\log_8 128 - \log_8 2 = \log_8 (128/2) = \log_8 64$.

Поскольку $8^2 = 64$, то $\log_8 64 = 2$.

2. Упростим слагаемое $10^{\lg 4}$. Запись $\lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^{\lg 4} = 10^{\log_{10} 4} = 4$.

3. Теперь найдем значение всего выражения в скобках:

$(\log_8 128 - \log_8 2) + 10^{\lg 4} = 2 + 4 = 6$.

4. Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(6)^{\log_6 10}$.

Вновь применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 10} = 10$.

Ответ: 10

2) $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель: $3\lg 2 - \lg 0,5$.

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$3\lg 2 = \lg(2^3) = \lg 8$.

Теперь числитель имеет вид $\lg 8 - \lg 0,5$. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\lg 8 - \lg 0,5 = \lg(8 / 0,5) = \lg(16)$.

2. Упростим знаменатель: $\lg 0,4 + \lg 1,25$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\lg 0,4 + \lg 1,25 = \lg(0,4 \cdot 1,25)$.

Вычислим произведение: $0,4 \cdot 1,25 = 0,5$.

Следовательно, знаменатель равен $\lg 0,5$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\lg 16}{\lg 0,5}$.

Представим числа 16 и 0,5 в виде степеней двойки: $16 = 2^4$ и $0,5 = 1/2 = 2^{-1}$.

$\frac{\lg(2^4)}{\lg(2^{-1})}$.

Используем свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \log_a b$:

$\frac{4\lg 2}{-1\lg 2}$.

Сократим $\lg 2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{-1} = -4$.

Ответ: -4

28. Вычислите значение выражения

$5^{\left(\frac{3}{\log_{3\sqrt{3}}5} + \frac{1}{4}\log_5 16\right)} - 8\log_6 \left(\sqrt[5]{6}\sqrt[4]{6}\right)$

Для вычисления значения выражения, упростим его по частям.

1. Упрощение первого слагаемого $5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5} + \frac{1}{4}\log_5 16}$

Сначала преобразуем показатель степени. Он состоит из двух слагаемых.

Рассмотрим первое слагаемое в показателе: $\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ и представим основание $\sqrt[3]{3}$ как $3^{1/3}$:
$\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5} = 3 \cdot \log_5(\sqrt[3]{3}) = 3 \cdot \log_5(3^{1/3})$.
Теперь применим свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$3 \cdot \frac{1}{3} \log_5 3 = \log_5 3$.

Рассмотрим второе слагаемое в показателе: $\frac{1}{4}\log_5 16$.
Представим $16$ как $2^4$ и воспользуемся тем же свойством $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$\frac{1}{4}\log_5(2^4) = \frac{1}{4} \cdot 4 \log_5 2 = \log_5 2$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти весь показатель степени:
$\log_5 3 + \log_5 2$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_5 3 + \log_5 2 = \log_5(3 \cdot 2) = \log_5 6$.

Подставим полученный показатель обратно в первое слагаемое исходного выражения:
$5^{\log_5 6}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$5^{\log_5 6} = 6$.

2. Упрощение второго слагаемого $-8 \log_6 \sqrt[5]{6\sqrt[4]{6}}$

Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма: $\sqrt[5]{6\sqrt[4]{6}}$.
Начнем изнутри: $6\sqrt[4]{6} = 6^1 \cdot 6^{1/4}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$6^{1 + 1/4} = 6^{5/4}$.
Теперь извлечем корень 5-й степени:
$\sqrt[5]{6^{5/4}} = (6^{5/4})^{1/5}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$6^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 6^{1/4}$.

Подставим упрощенное выражение обратно во второе слагаемое:
$-8 \log_6 (6^{1/4})$.
Вынесем показатель степени за знак логарифма, используя свойство $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$-8 \cdot \frac{1}{4} \log_6 6$.
Так как $\log_a a = 1$, то $\log_6 6 = 1$.
$-8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = -2$.

3. Вычисление итогового значения

Сложим значения двух упрощенных частей выражения:
$6 + (-2) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

29. Найдите значение выражения $ \frac{1 - \lg^2 5}{2\lg\sqrt{10} + \lg 5} + \lg 5 $.

Для нахождения значения выражения выполним последовательные упрощения.

Исходное выражение:

$$ \frac{1 - \lg^2 5}{2\lg\sqrt{10} + \lg 5} + \lg 5 $$

1. Упростим знаменатель дроби: $2\lg\sqrt{10} + \lg 5$.

Вспомним, что $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Также используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$.

Преобразуем первое слагаемое в знаменателе:

$$ 2\lg\sqrt{10} = 2\lg(10^{1/2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \lg 10 $$

Поскольку $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$, получаем:

$$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 $$

Теперь весь знаменатель равен:

$$ 2\lg\sqrt{10} + \lg 5 = 1 + \lg 5 $$

2. Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{1 - \lg^2 5}{1 + \lg 5} + \lg 5 $$

3. Рассмотрим числитель дроби: $1 - \lg^2 5$. Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ 1 - \lg^2 5 = (1 - \lg 5)(1 + \lg 5) $$

4. Подставим разложенный на множители числитель в дробь и сократим ее:

$$ \frac{(1 - \lg 5)(1 + \lg 5)}{1 + \lg 5} + \lg 5 = (1 - \lg 5) + \lg 5 $$

5. Выполним последнее действие — сложение:

$$ 1 - \lg 5 + \lg 5 = 1 $$

Таким образом, значение всего выражения равно 1.

Ответ: 1

30. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$;

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$;

3) $y = \log_7 \log_{4-x} (4-x)^{49}$;

4) $y = \log_2 x \cdot \log_x \frac{1}{32}$.

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$

Функция определена, когда выражение под знаком логарифма положительно. Десятичный логарифм $\lg(x-1)$ имеет смысл при $x-1 > 0$, то есть при $x > 1$.
Область определения функции (ОДЗ): $x \in (1, +\infty)$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (здесь $a=10$, $b=x-1$), упростим функцию:
$y = 10^{\log_{10}(x-1)} = x-1$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x-1$ при условии $x > 1$.
Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ (сама точка не включена, так как неравенство строгое) и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x-1$ с началом в точке $(1, 0)$, не включая эту точку.

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$

Функция определена, когда основание логарифма положительно и не равно единице, а выражение под знаком логарифма положительно.
Область определения функции (ОДЗ) задается системой неравенств:
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x+2 \neq 1 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, при $x$ из области определения получаем $y = 1$.
Следовательно, график функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками, которые не входят в ОДЗ.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ при $x > -2$ с выколотой точкой $(-1, 1)$. Это два луча: один на интервале $(-2, -1)$, другой на интервале $(-1, +\infty)$.

3) $y = \log_7 \log_{4-x} (4-x)^{49}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для внутреннего логарифма $\log_{4-x} (4-x)^{49}$:
- Основание $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
- Основание $4-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 3$.
- Аргумент $(4-x)^{49} > 0 \Rightarrow 4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
2. Для внешнего логарифма $\log_7(\dots)$:
- Его аргумент, то есть $\log_{4-x} (4-x)^{49}$, должен быть больше нуля.
Упростим аргумент внешнего логарифма, используя свойство $\log_b a^c = c \log_b a$:
$\log_{4-x} (4-x)^{49} = 49 \log_{4-x} (4-x)$.
На найденной части ОДЗ ($x < 4, x \neq 3$) $\log_{4-x}(4-x) = 1$.
Значит, аргумент внешнего логарифма равен $49 \cdot 1 = 49$.
Проверяем условие $49 > 0$. Это верно.
Итоговая ОДЗ: $x < 4$ и $x \neq 3$, то есть $x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4)$.
Теперь упростим саму функцию на её области определения:
$y = \log_7(49) = \log_7(7^2) = 2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2$, определенная на множестве $(-\infty, 3) \cup (3, 4)$. Это луч, ограниченный справа точкой $(4, 2)$ (не включая ее), с выколотой точкой $(3, 2)$.

4) $y = \log_2 x \cdot \log_x \frac{1}{32}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
1. Для логарифма $\log_2 x$: аргумент $x > 0$.
2. Для логарифма $\log_x \frac{1}{32}$:
- Основание $x > 0$.
- Основание $x \neq 1$.
- Аргумент $\frac{1}{32} > 0$, что всегда верно.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, то есть $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.
Преобразуем функцию, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 2:
$\log_x \frac{1}{32} = \frac{\log_2 (1/32)}{\log_2 x}$.
Подставим в исходное уравнение:
$y = \log_2 x \cdot \frac{\log_2 (1/32)}{\log_2 x}$.
На ОДЗ $\log_2 x \neq 0$, поэтому можно сократить:
$y = \log_2 (\frac{1}{32}) = \log_2(2^{-5}) = -5$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -5$ при $x > 0$ и $x \neq 1$. Это два луча: один на интервале $(0, 1)$, другой на интервале $(1, +\infty)$.