Страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

$1) \log_{5}^{2} x - 2\log_{5} x - 8 = 0;$

$2) \log_{2}^{2} x - 12\log_{2} \sqrt[3]{x} - 5 = 0;$

$3) \lg^{2} x^{2} - 5\lg x + 1 = 0;$

$4) \frac{1}{3 - \log_{7} x} + \frac{3}{1 + \log_{7} x} = 2;$

$5) \log_{3} \frac{x}{9} \cdot \log_{3} 27x = \log_{3} x^{2} + 6;$

$6) \lg (\lg x) + \lg (\lg x^{3} - 2) = 0;$

$7) \lg^{2} (100x) - \lg^{2} (10x) + \lg^{2} x = 6;$

$8) \log_{2} x - 5\log_{x} 8 = 2.$

1) $log_5^2 x - 2log_5 x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $log_5 x$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = log_5 x$. Уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $log_5 x = 4 \implies x = 5^4 = 625$.
2) $log_5 x = -2 \implies x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = 625, x_2 = \frac{1}{25}$.

2) $log_2^2 x - 12log_2 \sqrt[3]{x} - 5 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем второй член уравнения, используя свойство логарифма степени: $log_a b^c = c \cdot log_a b$.
$log_2 \sqrt[3]{x} = log_2 x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение: $log_2^2 x - 12 \cdot (\frac{1}{3}log_2 x) - 5 = 0$
$log_2^2 x - 4log_2 x - 5 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = log_2 x$. $t^2 - 4t - 5 = 0$
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 4$ и $t_1 \cdot t_2 = -5$.
Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.
2) $log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 32, x_2 = \frac{1}{2}$.

3) $lg^2 x^2 - 5lg x + 1 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем первый член: $lg^2 x^2 = (lg x^2)^2 = (2lg x)^2 = 4lg^2 x$.
Подставим в уравнение: $4lg^2 x - 5lg x + 1 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $4t^2 - 5t + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}$.
$t_1 = \frac{5+3}{8} = 1$.
$t_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = \frac{1}{4} \implies x = 10^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = \sqrt[4]{10}$.

4) $\frac{1}{3 - log_7 x} + \frac{3}{1 + log_7 x} = 2$

ОДЗ: $x > 0$, $3 - log_7 x \neq 0 \implies log_7 x \neq 3 \implies x \neq 7^3 = 343$, и $1 + log_7 x \neq 0 \implies log_7 x \neq -1 \implies x \neq 7^{-1} = \frac{1}{7}$.
Сделаем замену: пусть $t = log_7 x$. $\frac{1}{3 - t} + \frac{3}{1 + t} = 2$
Приведем к общему знаменателю $(3 - t)(1 + t)$: $\frac{1(1 + t) + 3(3 - t)}{(3 - t)(1 + t)} = 2$
$1 + t + 9 - 3t = 2(3 - t)(1 + t)$
$10 - 2t = 2(3 + 3t - t - t^2)$
$10 - 2t = 2(3 + 2t - t^2)$
$10 - 2t = 6 + 4t - 2t^2$
$2t^2 - 6t + 4 = 0$
Разделим на 2: $t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, $t_1=1, t_2=2$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_7 x = 1 \implies x = 7^1 = 7$.
2) $log_7 x = 2 \implies x = 7^2 = 49$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 7, x_2 = 49$.

5) $log_3 \frac{x}{9} \cdot log_3 27x = log_3 x^2 + 6$

ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойства логарифмов: $log_a(b/c) = log_a b - log_a c$ и $log_a(bc) = log_a b + log_a c$.
$log_3 \frac{x}{9} = log_3 x - log_3 9 = log_3 x - 2$.
$log_3 27x = log_3 27 + log_3 x = 3 + log_3 x$.
$log_3 x^2 = 2log_3 x$.
Подставим в уравнение: $(log_3 x - 2)(log_3 x + 3) = 2log_3 x + 6$
Сделаем замену: пусть $t = log_3 x$. $(t - 2)(t + 3) = 2t + 6$
$t^2 + 3t - 2t - 6 = 2t + 6$
$t^2 + t - 6 = 2t + 6$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1=4, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_3 x = 4 \implies x = 3^4 = 81$.
2) $log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 81, x_2 = \frac{1}{27}$.

6) $lg(lg x) + lg(lg x^3 - 2) = 0$

ОДЗ:
1) $x > 0$
2) $lg x > 0 \implies x > 1$
3) $lg x^3 - 2 > 0 \implies 3lg x > 2 \implies lg x > \frac{2}{3} \implies x > 10^{\frac{2}{3}}$.
Общее ОДЗ: $x > 10^{\frac{2}{3}}$.
Используем свойство суммы логарифмов: $lg(a) + lg(b) = lg(ab)$.
$lg(lg x \cdot (lg x^3 - 2)) = 0$
По определению логарифма: $lg x \cdot (lg x^3 - 2) = 10^0 = 1$
$lg x \cdot (3lg x - 2) = 1$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $t(3t - 2) = 1$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
$t_1 = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1$. Проверяем ОДЗ: $1 > \frac{2}{3}$, условие выполнено. Тогда $x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = -\frac{1}{3}$. Проверяем ОДЗ: $-\frac{1}{3} > \frac{2}{3}$ - неверно. Этот корень посторонний.
Ответ: $x = 10$.

7) $lg^2(100x) - lg^2(10x) + lg^2 x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем члены уравнения: $lg(100x) = lg 100 + lg x = 2 + lg x$.
$lg(10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x$.
Подставим в уравнение: $(2 + lg x)^2 - (1 + lg x)^2 + lg^2 x = 6$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $(2 + t)^2 - (1 + t)^2 + t^2 = 6$
$(4 + 4t + t^2) - (1 + 2t + t^2) + t^2 = 6$
$4 + 4t + t^2 - 1 - 2t - t^2 + t^2 = 6$
$t^2 + 2t + 3 = 6$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, $t_1=1, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = -3 \implies x = 10^{-3} = 0.001$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.001$.

8) $log_2 x - 5log_x 8 = 2$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$.
$log_x 8 = \frac{log_2 8}{log_2 x} = \frac{3}{log_2 x}$.
Подставим в уравнение: $log_2 x - 5 \cdot \frac{3}{log_2 x} = 2$
$log_2 x - \frac{15}{log_2 x} = 2$
Сделаем замену: пусть $t = log_2 x$. (Из ОДЗ $x \neq 1 \implies t \neq 0$). $t - \frac{15}{t} = 2$
Умножим обе части на $t$: $t^2 - 15 = 2t$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
По теореме Виета, $t_1=5, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.
2) $log_2 x = -3 \implies x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 32, x_2 = \frac{1}{8}$.

43. Решите уравнение:

1) $x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}$;

2) $x^{\log_5 x} = \frac{x^5}{625}$;

3) $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 162$;

4) $x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450$.

1) $x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(x^{\log_2 x - 6}) = \log_2(\frac{1}{32})$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и то, что $\frac{1}{32} = 2^{-5}$, получаем:

$(\log_2 x - 6) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{-5})$

$(\log_2 x)^2 - 6 \log_2 x = -5$

$(\log_2 x)^2 - 6 \log_2 x + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 32$.

2) $x^{\log_5 x} = \frac{x^5}{625}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(\frac{x^5}{625})$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$, получаем:

$(\log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(x^5) - \log_5(625)$

$(\log_5 x)^2 = 5 \log_5 x - \log_5(5^4)$

$(\log_5 x)^2 = 5 \log_5 x - 4$

$(\log_5 x)^2 - 5 \log_5 x + 4 = 0$

Сделаем замену $t = \log_5 x$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

1) $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.

2) $\log_5 x = 4 \implies x = 5^4 = 625$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; 625$.

3) $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 162$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второе слагаемое, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:

$x = 3^{\log_3 x}$

Тогда $x^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{\log_3 x} = 3^{\log_3 x \cdot \log_3 x} = 3^{\log_3^2 x}$.

Уравнение принимает вид:

$3^{\log_3^2 x} + 3^{\log_3^2 x} = 162$

$2 \cdot 3^{\log_3^2 x} = 162$

$3^{\log_3^2 x} = 81$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$3^{\log_3^2 x} = 3^4$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_3^2 x = 4$

Отсюда:

1) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.

2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

4) $x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим его к первому слагаемому:

$x^{\log_{13} 15} = 15^{\log_{13} x}$

Уравнение примет вид:

$15^{\log_{13} x} + 15^{\log_{13} x} = 450$

$2 \cdot 15^{\log_{13} x} = 450$

$15^{\log_{13} x} = 225$

Так как $225 = 15^2$, получаем:

$15^{\log_{13} x} = 15^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_{13} x = 2$

$x = 13^2 = 169$.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $169$.

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2 \log_2(-x)}{\log_2(-4 - 5x)} = 1;$

2) $\frac{\log_6(x^2 - 7x + 16) - 1}{\log_5(x - 4)} = 0.$

1) $\frac{2\log_{2}(-x)}{\log_{2}(-4-5x)} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} -x > 0 \\ -4-5x > 0 \\ \log_{2}(-4-5x) \neq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-x > 0 \implies x < 0$

2. $-4-5x > 0 \implies -5x > 4 \implies x < -\frac{4}{5}$

3. $\log_{2}(-4-5x) \neq 0 \implies -4-5x \neq 2^0 \implies -4-5x \neq 1 \implies -5x \neq 5 \implies x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x < -\frac{4}{5}$ и $x \neq -1$. Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$.

Теперь решим само уравнение на найденной ОДЗ:

$\frac{2\log_{2}(-x)}{\log_{2}(-4-5x)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $\log_{2}(-4-5x)$:

$2\log_{2}(-x) = \log_{2}(-4-5x)$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{2}((-x)^2) = \log_{2}(-4-5x)$

$\log_{2}(x^2) = \log_{2}(-4-5x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -4 - 5x$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$).

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -1$.

Ответ: $-4$.

2) $\frac{\log_{6}(x^2 - 7x + 16) - 1}{\log_{5}(x - 4)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и существует.

Таким образом, решение уравнения сводится к решению системы:

$\begin{cases} \log_{6}(x^2 - 7x + 16) - 1 = 0 \\ \log_{5}(x - 4) \neq 0 \\ x^2 - 7x + 16 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы (числитель равен нулю):

$\log_{6}(x^2 - 7x + 16) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - 7x + 16 = 6^1$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Получаем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

2. Теперь проверим эти корни на соответствие остальным условиям системы.

Проверим условие $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.

Для $x_1 = 2$: неравенство $2 > 4$ не выполняется. Значит, $x = 2$ — посторонний корень.

Для $x_2 = 5$: неравенство $5 > 4$ выполняется. Проверяем следующее условие.

Проверим условие $\log_{5}(x - 4) \neq 0$.

Подставим $x_2 = 5$: $\log_{5}(5 - 4) = \log_{5}(1) = 0$. Это нарушает условие, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, $x = 5$ также является посторонним корнем.

Последнее условие $x^2 - 7x + 16 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен.

Поскольку ни один из потенциальных корней не удовлетворяет всем условиям, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_{\frac{1}{6}}(3x - a) = \log_{\frac{1}{6}}(x + 4);$

2) $\log_5(x^2 - 4ax) = \log_5(3 - 2x - 4a).$

1)

Дано уравнение $ \log_{\frac{1}{6}}(3x - a) = \log_{\frac{1}{6}}(x + 4) $. Поскольку основания логарифмов равны, уравнение равносильно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия их положительности. Достаточно потребовать, чтобы одно из них было положительным, так как из равенства будет следовать положительность и второго.

$$ \begin{cases} 3x - a = x + 4 \\ x + 4 > 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы выразим $x$ через $a$:

$3x - x = a + 4$

$2x = a + 4$

$x = \frac{a+4}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ во второе неравенство системы, чтобы найти значения $a$, при которых корень существует (т.е. принадлежит области допустимых значений):

$\frac{a+4}{2} + 4 > 0$

Умножим обе части на 2:

$a + 4 + 8 > 0$

$a + 12 > 0$

$a > -12$

Таким образом, уравнение имеет корень только при $a > -12$, и этот корень равен $x = \frac{a+4}{2}$.

Ответ: при $a \in (-12; +\infty)$ уравнение имеет один корень $x = \frac{a+4}{2}$.

2)

Дано уравнение $ \log_{5}(x^2 - 4ax) = \log_{5}(3 - 2x - 4a) $.

Уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - 4ax = 3 - 2x - 4a \\ 3 - 2x - 4a > 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы относительно $x$, преобразовав его в стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4ax + 2x + 4a - 3 = 0$

$x^2 + (2 - 4a)x + (4a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (2 - 4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 3) = 4 - 16a + 16a^2 - 16a + 12 = 16a^2 - 32a + 16 = 16(a^2 - 2a + 1) = 16(a - 1)^2$.

Поскольку $D = (4(a-1))^2 \ge 0$ для любых значений $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$x = \frac{-(2 - 4a) \pm \sqrt{16(a - 1)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 4|a - 1|}{2} = 2a - 1 \pm 2|a - 1|$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $a > 1$

В этом случае $|a-1| = a-1$.

$x_1 = 2a - 1 + 2(a - 1) = 4a - 3$

$x_2 = 2a - 1 - 2(a - 1) = 1$

Проверим для каждого корня выполнение условия $3 - 2x - 4a > 0$.

Для $x_1 = 4a - 3$: $3 - 2(4a - 3) - 4a > 0 \implies 3 - 8a + 6 - 4a > 0 \implies 9 - 12a > 0 \implies a < \frac{3}{4}$. Это противоречит условию $a > 1$.

Для $x_2 = 1$: $3 - 2(1) - 4a > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies a < \frac{1}{4}$. Это также противоречит условию $a > 1$.

Следовательно, при $a > 1$ корней нет.

Случай 2: $a = 1$

В этом случае $D=0$, и уравнение имеет один корень $x = 2a - 1 = 2(1) - 1 = 1$.

Проверим условие: $3 - 2(1) - 4(1) > 0 \implies -3 > 0$. Неравенство неверно, значит при $a=1$ корней нет.

Случай 3: $a < 1$

В этом случае $|a-1| = -(a-1) = 1-a$.

$x_1 = 2a - 1 + 2(1 - a) = 1$

$x_2 = 2a - 1 - 2(1 - a) = 4a - 3$

Проверим условие $3 - 2x - 4a > 0$ для каждого корня.

Для $x_1 = 1$: $3 - 2(1) - 4a > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies a < \frac{1}{4}$.

Для $x_2 = 4a - 3$: $3 - 2(4a - 3) - 4a > 0 \implies 9 - 12a > 0 \implies a < \frac{3}{4}$.

Теперь объединим полученные результаты. Изначальное уравнение имеет корни, если найденные значения $x$ удовлетворяют неравенствам для $a$.

• Если $a < \frac{1}{4}$, то выполняются оба условия ($a < \frac{1}{4}$ и $a < \frac{3}{4}$). Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4a - 3$.
• Если $\frac{1}{4} \le a < \frac{3}{4}$, то выполняется только второе условие ($a < \frac{3}{4}$), а первое ($a < \frac{1}{4}$) - нет. Значит, корень $x_1=1$ не подходит. Уравнение имеет один корень: $x = 4a - 3$.
• Если $a \ge \frac{3}{4}$ (и при этом $a < 1$), то ни одно из условий не выполняется, и корней нет.

Ответ: при $a < \frac{1}{4}$ уравнение имеет два корня $x_1 = 1$, $x_2 = 4a-3$; при $\frac{1}{4} \le a < \frac{3}{4}$ уравнение имеет один корень $x = 4a-3$; при $a \ge \frac{3}{4}$ уравнение не имеет корней.

46. При каких значениях $b$ уравнение $2\log_6(x+2) = \log_6 3bx$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $2\log_6(x+2) = \log_6(3bx)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3bx > 0\end{cases}$

Из первого неравенства следует $x > -2$. Второе неравенство $3bx > 0$ зависит от знака параметра $b$.

Заметим, что при $b = 0$ правая часть уравнения $\log_6(0)$ не определена, поэтому $b \neq 0$.

Рассмотрим два случая для ОДЗ:

1. Если $b > 0$, то из $3bx > 0$ следует $x > 0$. С учетом условия $x > -2$, ОДЗ в этом случае: $x > 0$.

2. Если $b < 0$, то из $3bx > 0$ следует $x < 0$. С учетом условия $x > -2$, ОДЗ в этом случае: $-2 < x < 0$.

Теперь решим само уравнение. Используя свойство логарифма $n\log_a c = \log_a (c^n)$, преобразуем левую часть:

$\log_6((x+2)^2) = \log_6(3bx)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x+2)^2 = 3bx$

$x^2 + 4x + 4 = 3bx$

$x^2 + (4 - 3b)x + 4 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение имеет единственный корень, если:
а) полученное квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень входит в ОДЗ.
б) полученное квадратное уравнение имеет два корня, но только один из них входит в ОДЗ.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:

$D = (4 - 3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 24b + 9b^2 - 16 = 9b^2 - 24b = 3b(3b-8)$.

Случай а) Дискриминант равен нулю ($D=0$)

$D = 0 \implies 3b(3b-8) = 0$.

Отсюда $b=0$ или $b = 8/3$. Как мы выяснили ранее, $b \neq 0$.

Проверим $b = 8/3$. Это значение попадает в категорию $b > 0$, для которой ОДЗ: $x > 0$.

При $D=0$ квадратное уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{4-3b}{2} = \frac{3b-4}{2}$.

Подставим $b = 8/3$: $x = \frac{3(8/3) - 4}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x > 0$). Следовательно, при $b = 8/3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай б) Дискриминант больше нуля ($D>0$)

$D > 0 \implies 3b(3b-8) > 0$. Это неравенство выполняется при $b \in (-\infty, 0) \cup (8/3, \infty)$.

Рассмотрим два подинтервала.

Подслучай б.1) $b > 8/3$.

В этом случае ОДЗ: $x > 0$. Квадратное уравнение $x^2 + (4 - 3b)x + 4 = 0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 x_2 = 4$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(4-3b) = 3b-4$.
Так как $x_1 x_2 = 4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Так как $b > 8/3$, то $3b > 8$, и $3b-4 > 4$. Сумма корней положительна.
Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ положительны. Оба корня входят в ОДЗ ($x>0$). В этом случае уравнение имеет два корня, что не удовлетворяет условию задачи.

Подслучай б.2) $b < 0$.

В этом случае ОДЗ: $-2 < x < 0$. Квадратное уравнение имеет два различных корня, так как $D=3b(3b-8) > 0$ при $b < 0$.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 x_2 = 4 > 0$. Корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3b-4$. Так как $b < 0$, то $3b < 0$, и $3b-4 < -4$. Сумма корней отрицательна.
Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.
Нам нужно, чтобы только один из этих отрицательных корней попал в интервал $(-2, 0)$. Это означает, что один корень должен быть в интервале $(-2, 0)$, а другой должен быть меньше или равен $-2$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (4 - 3b)x + 4$. Это парабола с ветвями вверх. Чтобы один корень был меньше $-2$, а другой больше $-2$, значение функции в точке $x=-2$ должно быть отрицательным: $f(-2) < 0$.
$f(-2) = (-2)^2 + (4-3b)(-2) + 4 = 4 - 8 + 6b + 4 = 6b$.
Условие $f(-2) < 0$ дает $6b < 0$, то есть $b < 0$.
Это условие совпадает с условием рассматриваемого подслучая ($b < 0$).
Таким образом, для любого $b < 0$ один корень квадратного уравнения будет меньше $-2$ (и не войдет в ОДЗ), а другой — в интервале $(-2, 0)$ (и войдет в ОДЗ). Это удовлетворяет условию задачи.

Объединяя все найденные значения $b$, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $b \in (-\infty, 0)$ и при $b = 8/3$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{8/3\}$.