Страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{12x}$;

2) $y = e^{x^5}$;

3) $y = e^{7x-x^2}$;

4) $y = 10^{-x}$;

5) $y = 8^{4x+1}$;

6) $y = 0.3^{\cos x}$;

7) $y = 4 \cdot 3^{0.5x^2-9}$;

8) $y = e^x(x^2 - 4x - 2)$;

9) $y = 5\sqrt{x} \cdot x^2$;

10) $y = 2^{\frac{1}{x}}(x - 3)$;

11) $y = \frac{8x + 10}{8x - 12}$;

12) $y = e^{\sin 8x}$.

1) $y = e^{12x}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = 12x$. Ее производная находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (12x)' = 12$.
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = (e^{12x})' = e^{12x} \cdot (12x)' = e^{12x} \cdot 12 = 12e^{12x}$.
Ответ: $y' = 12e^{12x}$.

2) $y = e^{x^5}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = x^5$. Используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (x^5)' = 5x^4$.
Производная исходной функции:
$y' = (e^{x^5})' = e^{x^5} \cdot (x^5)' = e^{x^5} \cdot 5x^4 = 5x^4e^{x^5}$.
Ответ: $y' = 5x^4e^{x^5}$.

3) $y = e^{7x-x^2}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = 7x-x^2$. Используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (7x-x^2)' = 7-2x$.
Производная исходной функции:
$y' = (e^{7x-x^2})' = e^{7x-x^2} \cdot (7x-x^2)' = e^{7x-x^2} \cdot (7-2x) = (7-2x)e^{7x-x^2}$.
Ответ: $y' = (7-2x)e^{7x-x^2}$.

4) $y = 10^{-x}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=10$ и $u(x) = -x$. Ее производная находится по формуле $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (-x)' = -1$.
Производная исходной функции:
$y' = (10^{-x})' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-x)' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x}\ln 10$.
Ответ: $y' = -10^{-x}\ln 10$.

5) $y = 8^{4x+1}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=8$ и $u(x) = 4x+1$. Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (4x+1)' = 4$.
Производная исходной функции:
$y' = (8^{4x+1})' = 8^{4x+1} \ln 8 \cdot (4x+1)' = 8^{4x+1} \ln 8 \cdot 4 = 4 \cdot 8^{4x+1}\ln 8$.
Ответ: $y' = 4 \cdot 8^{4x+1}\ln 8$.

6) $y = 0,3^{\cos x}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=0,3$ и $u(x) = \cos x$. Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (\cos x)' = -\sin x$.
Производная исходной функции:
$y' = (0,3^{\cos x})' = 0,3^{\cos x} \ln(0,3) \cdot (\cos x)' = 0,3^{\cos x} \ln(0,3) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 0,3^{\cos x}\ln(0,3)$.
Ответ: $y' = -\sin x \cdot 0,3^{\cos x}\ln(0,3)$.

7) $y = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9}$
Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Здесь $a=3$ и $u(x) = 0,5x^2-9$.
Производная внутренней функции: $u' = (0,5x^2-9)' = 0,5 \cdot 2x = x$.
Производная исходной функции:
$y' = 4 \cdot (3^{0,5x^2-9})' = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9} \ln 3 \cdot (0,5x^2-9)' = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9} \ln 3 \cdot x = 4x \cdot 3^{0,5x^2-9}\ln 3$.
Ответ: $y' = 4x \cdot 3^{0,5x^2-9}\ln 3$.

8) $y = e^x(x^2 - 4x - 2)$
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = e^x$ и $v = x^2 - 4x - 2$.
Найдем их производные: $u' = (e^x)' = e^x$ и $v' = (x^2 - 4x - 2)' = 2x - 4$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (e^x)'(x^2 - 4x - 2) + e^x(x^2 - 4x - 2)' = e^x(x^2 - 4x - 2) + e^x(2x - 4)$.
Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки и упростим выражение:
$y' = e^x(x^2 - 4x - 2 + 2x - 4) = e^x(x^2 - 2x - 6)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 - 2x - 6)$.

9) $y = 5\sqrt{x} \cdot x^2$
Сначала упростим функцию, используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.
$y = 5x^{1/2} \cdot x^2 = 5x^{1/2 + 2} = 5x^{5/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (5x^{5/2})' = 5 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{25}{2}x^{3/2}$.
Результат также можно записать в виде $12,5x\sqrt{x}$.
Ответ: $y' = \frac{25}{2}x^{3/2}$.

10) $y = 2\sqrt{x}(x - 3)$
(Примечание: в исходном изображении показатель степени нечеткий, решение приведено для наиболее вероятного варианта $y=2x^{1/2}(x-3)$).
Сначала упростим функцию, раскрыв скобки. Запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.
$y = 2x^{1/2}(x - 3) = 2x^{1/2} \cdot x^1 - 2x^{1/2} \cdot 3 = 2x^{3/2} - 6x^{1/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вычитания:
$y' = (2x^{3/2} - 6x^{1/2})' = (2x^{3/2})' - (6x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1}$.
$y' = 3x^{1/2} - 3x^{-1/2}$.
Перепишем результат с использованием корней:
$y' = 3\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 3\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$.

11) $y = \frac{8^x + 10}{8^x - 12}$
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = 8^x + 10$ и $v = 8^x - 12$.
Найдем их производные: $u' = (8^x + 10)' = 8^x \ln 8$ и $v' = (8^x - 12)' = 8^x \ln 8$.
Подставим в формулу производной частного:
$y' = \frac{(8^x \ln 8)(8^x - 12) - (8^x + 10)(8^x \ln 8)}{(8^x - 12)^2}$.
Вынесем общий множитель $8^x \ln 8$ в числителе за скобки:
$y' = \frac{8^x \ln 8 [(8^x - 12) - (8^x + 10)]}{(8^x - 12)^2} = \frac{8^x \ln 8 (8^x - 12 - 8^x - 10)}{(8^x - 12)^2}$.
Упростим выражение в скобках:
$y' = \frac{8^x \ln 8 (-22)}{(8^x - 12)^2} = -\frac{22 \cdot 8^x \ln 8}{(8^x - 12)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{22 \cdot 8^x \ln 8}{(8^x - 12)^2}$.

12) $y = e^{\sin 8x}$
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило дважды.
$y' = (e^{\sin 8x})' = e^{\sin 8x} \cdot (\sin 8x)'$.
Теперь найдем производную от $\sin 8x$, что также является сложной функцией:
$(\sin 8x)' = \cos(8x) \cdot (8x)' = \cos(8x) \cdot 8 = 8\cos(8x)$.
Подставим это обратно в первое выражение:
$y' = e^{\sin 8x} \cdot 8\cos(8x) = 8\cos(8x)e^{\sin 8x}$.
Ответ: $y' = 8\cos(8x)e^{\sin 8x}$.

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x} - e^{-4x^2}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 6^{3x^2+4x+1}$, $x_0 = -1$;

3) $f(x) = e^{6x} (x^2 - 2)$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{e^{8x}}{\sin \frac{x}{2}}$, $x_0 = \pi$.

1)

Для функции $f(x) = e^{5x} - e^{-4x^2}$ найдем ее производную. Производная разности функций равна разности производных. Для нахождения производных каждого слагаемого воспользуемся цепным правилом для сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$(e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$

$(e^{-4x^2})' = e^{-4x^2} \cdot (-4x^2)' = e^{-4x^2} \cdot (-8x) = -8xe^{-4x^2}$

Таким образом, производная исходной функции равна:

$f'(x) = 5e^{5x} - (-8xe^{-4x^2}) = 5e^{5x} + 8xe^{-4x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} + 8 \cdot 0 \cdot e^{-4 \cdot 0^2} = 5e^0 + 0 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

2)

Для функции $f(x) = 6^{3x^2+4x+1}$ найдем ее производную. Воспользуемся правилом дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае $a=6$ и $u(x) = 3x^2+4x+1$. Найдем производную показателя степени:

$u'(x) = (3x^2+4x+1)' = 6x+4$.

Теперь найдем производную всей функции:

$f'(x) = 6^{3x^2+4x+1} \cdot \ln 6 \cdot (6x+4)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 6^{3(-1)^2+4(-1)+1} \cdot \ln 6 \cdot (6(-1)+4)$.

Вычислим значение показателя степени: $3(1) - 4 + 1 = 0$.

Вычислим значение множителя в скобках: $-6 + 4 = -2$.

$f'(-1) = 6^0 \cdot \ln 6 \cdot (-2) = 1 \cdot \ln 6 \cdot (-2) = -2\ln 6$.

Ответ: $-2\ln 6$

3)

Для функции $f(x) = e^{6x}(x^2 - 2)$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{6x}$ и $v(x) = x^2 - 2$. Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{6x})' = e^{6x} \cdot (6x)' = 6e^{6x}$.

$v'(x) = (x^2 - 2)' = 2x$.

Применяем правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 6e^{6x}(x^2 - 2) + e^{6x}(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{6x}$ за скобки:

$f'(x) = e^{6x}(6(x^2 - 2) + 2x) = e^{6x}(6x^2 - 12 + 2x) = e^{6x}(6x^2 + 2x - 12)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = e^{6 \cdot 2}(6 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 12) = e^{12}(6 \cdot 4 + 4 - 12) = e^{12}(24 + 4 - 12) = e^{12}(16) = 16e^{12}$.

Ответ: $16e^{12}$

4)

Для функции $f(x) = \frac{e^{8x}}{\sin\frac{x}{2}}$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^{8x}$ и $v(x) = \sin\frac{x}{2}$. Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{8x})' = e^{8x} \cdot (8x)' = 8e^{8x}$.

$v'(x) = (\sin\frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Применяем правило частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{8e^{8x} \sin\frac{x}{2} - e^{8x} \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}}{(\sin\frac{x}{2})^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$f'(\pi) = \frac{8e^{8\pi} \sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}e^{8\pi}\cos\frac{\pi}{2}}{\sin^2\frac{\pi}{2}}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\pi) = \frac{8e^{8\pi} \cdot 1 - \frac{1}{2}e^{8\pi} \cdot 0}{1^2} = \frac{8e^{8\pi}}{1} = 8e^{8\pi}$.

Ответ: $8e^{8\pi}$

56. Решите неравенство $f'(x) \le g'(x)$, если:

1) $f(x) = e^x(x^2 + 2x - 1)$, $g(x) = 3xe^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^{3x+2}$, $g(x) = 3 \cdot 25^{x-4}$.

1)

Даны функции $f(x) = e^x(x^2 + 2x - 1)$ и $g(x) = 3xe^x$.

Для решения неравенства $f'(x) \le g'(x)$ сначала найдем производные этих функций.

Для функции $f(x)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)'(x^2 + 2x - 1) + e^x(x^2 + 2x - 1)'$

$f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 1) + e^x(2x + 2)$

Вынесем $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 1 + 2x + 2) = e^x(x^2 + 4x + 1)$

Для функции $g(x)$ также используем правило производной произведения:

$g'(x) = (3xe^x)' = 3(x'e^x + x(e^x)') = 3(1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = 3e^x(1+x)$

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$e^x(x^2 + 4x + 1) \le 3e^x(1 + x)$

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $e^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 + 4x + 1 \le 3(1 + x)$

$x^2 + 4x + 1 \le 3 + 3x$

$x^2 + 4x - 3x + 1 - 3 \le 0$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-2, 1]$.

Ответ: $[-2, 1]$.

2)

Даны функции $f(x) = 2 \cdot 5^{3x+2}$ и $g(x) = 3 \cdot 25^{x-4}$.

Найдем производные этих функций. Используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = 2 \cdot (5^{3x+2})' = 2 \cdot 5^{3x+2} \cdot \ln(5) \cdot (3x+2)' = 2 \cdot 5^{3x+2} \cdot \ln(5) \cdot 3 = 6 \ln(5) \cdot 5^{3x+2}$

Для нахождения производной функции $g(x)$, сначала преобразуем ее, представив $25$ как $5^2$:

$g(x) = 3 \cdot (5^2)^{x-4} = 3 \cdot 5^{2(x-4)} = 3 \cdot 5^{2x-8}$

Теперь найдем ее производную:

$g'(x) = 3 \cdot (5^{2x-8})' = 3 \cdot 5^{2x-8} \cdot \ln(5) \cdot (2x-8)' = 3 \cdot 5^{2x-8} \cdot \ln(5) \cdot 2 = 6 \ln(5) \cdot 5^{2x-8}$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$6 \ln(5) \cdot 5^{3x+2} \le 6 \ln(5) \cdot 5^{2x-8}$

Так как $6 \ln(5)$ является положительной константой ($ \ln(5) > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $6 \ln(5)$, не меняя знака неравенства:

$5^{3x+2} \le 5^{2x-8}$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что неравенство для степеней равносильно неравенству для их показателей:

$3x+2 \le 2x-8$

$3x - 2x \le -8 - 2$

$x \le -10$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, -10]$.

Ответ: $(-\infty, -10]$.

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_6 x$;

2) $y = \ln 7x$;

3) $y = \ln(x^2 - 5x)$;

4) $y = \log_{\frac{1}{2}} (3x^2 - 7x + 6)$;

5) $y = \ln^5 x$;

6) $y = x^4 \ln x$;

7) $y = \frac{x^2}{\ln x}$;

8) $y = \frac{\ln^2 x}{x^3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \log_6 x$ используется стандартная формула производной логарифма по основанию $a$: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

В данном случае, основание логарифма $a = 6$. Подставляя это значение в формулу, получаем:

$y' = \frac{1}{x \ln 6}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 6}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \ln(7x)$ можно сначала воспользоваться свойством логарифмов: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = \ln 7 + \ln x$.

Теперь найдем производную. Производная константы $(\ln 7)'$ равна нулю, а производная $(\ln x)'$ равна $\frac{1}{x}$.

$y' = (\ln 7 + \ln x)' = (\ln 7)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Функция $y = \ln(x^2 - 5x)$ является сложной. Для нахождения ее производной применяется цепное правило (производная сложной функции). Пусть $u(x) = x^2 - 5x$, тогда $y = \ln(u)$.

Производная находится по формуле: $y' = (\ln u)'_u \cdot u'_x = \frac{1}{u} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$.

Подставляем все в формулу:

$y' = \frac{1}{x^2 - 5x} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x}$.

Ответ: $y' = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x}$.

4) Это также сложная функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(3x^2 - 7x + 6)$. Применяем цепное правило для логарифма по основанию $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь внутренняя функция $u = 3x^2 - 7x + 6$, а основание $a = \frac{1}{2}$.

Находим производную внутренней функции: $u' = (3x^2 - 7x + 6)' = 6x - 7$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{6x - 7}{(3x^2 - 7x + 6) \ln\frac{1}{2}}$.

Так как $\ln\frac{1}{2} = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, выражение можно упростить:

$y' = \frac{6x - 7}{-(3x^2 - 7x + 6)\ln 2} = -\frac{6x - 7}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2} = \frac{7 - 6x}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{7 - 6x}{(3x^2 - 7x + 6)\ln 2}$.

5) Функция $y = \ln^5 x$ может быть записана как $y = (\ln x)^5$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^5$, а внутренняя — $u = \ln x$.

Применяем цепное правило: $y' = (u^5)'_u \cdot u'_x = 5u^4 \cdot u'$.

Производная внутренней функции: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем обратно:

$y' = 5(\ln x)^4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5\ln^4 x}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5\ln^4 x}{x}$.

6) Для нахождения производной функции $y = x^4 \ln x$ используем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^4$ и $v = \ln x$.

Находим производные сомножителей: $u' = (x^4)' = 4x^3$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = (4x^3)(\ln x) + (x^4)\left(\frac{1}{x}\right) = 4x^3 \ln x + x^3$.

Можно вынести общий множитель $x^3$ за скобки:

$y' = x^3(4\ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x^3(4\ln x + 1)$.

7) Для функции $y = \frac{x^2}{\ln x}$ применяем правило производной частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^2$ и $v = \ln x$.

Находим производные числителя и знаменателя: $u' = (x^2)' = 2x$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x)(\ln x) - (x^2)\left(\frac{1}{x}\right)}{(\ln x)^2} = \frac{2x \ln x - x}{(\ln x)^2}$.

Вынесем $x$ в числителе за скобки для упрощения:

$y' = \frac{x(2\ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{x(2\ln x - 1)}{\ln^2 x}$.

8) Для функции $y = \frac{\ln^2 x}{x^3}$ также применяем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \ln^2 x$ и $v = x^3$.

Находим производную числителя $u'$, используя цепное правило: $u' = (\ln^2 x)' = 2(\ln x) \cdot (\ln x)' = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

Находим производную знаменателя: $v' = (x^3)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу производной частного:

$y' = \frac{\left(\frac{2\ln x}{x}\right)(x^3) - (\ln^2 x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{2x^2\ln x - 3x^2 \ln^2 x}{x^6}$.

Упростим выражение, вынеся общий множитель $x^2 \ln x$ в числителе и сократив дробь:

$y' = \frac{x^2 \ln x (2 - 3\ln x)}{x^6} = \frac{\ln x (2 - 3\ln x)}{x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{\ln x (2 - 3\ln x)}{x^4}$.

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \frac{1}{5}\ln(-10x)$, $x_0 = -\frac{1}{15}$;

3) $f(x) = \ln \cos 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$.

1) Для функции $f(x) = \ln(3x + 2)$ в точке $x_0 = 3$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
В нашем случае $u(x) = 3x+2$, тогда $u'(x) = 3$.
Производная функции будет:
$f'(x) = \frac{(3x+2)'}{3x+2} = \frac{3}{3x+2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = \frac{3}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{3}{9+2} = \frac{3}{11}$.
Ответ: $\frac{3}{11}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{5}\ln(-10x)$ в точке $x_0 = -\frac{1}{15}$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы за знак производной:
$f'(x) = \left(\frac{1}{5}\ln(-10x)\right)' = \frac{1}{5} \cdot (\ln(-10x))' = \frac{1}{5} \cdot \frac{(-10x)'}{-10x} = \frac{1}{5} \cdot \frac{-10}{-10x} = \frac{1}{5x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{15}$:
$f'(-\frac{1}{15}) = \frac{1}{5 \cdot (-\frac{1}{15})} = \frac{1}{-\frac{5}{15}} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.
Ответ: $-3$.

3) Для функции $f(x) = \ln(\cos(2x))$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$.
Найдем производную функции, применив цепное правило:
$f'(x) = (\ln(\cos(2x)))' = \frac{1}{\cos(2x)} \cdot (\cos(2x))' = \frac{1}{\cos(2x)} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \frac{-2\sin(2x)}{\cos(2x)}$.
Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, упростим выражение:
$f'(x) = -2\tan(2x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\tan(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.