Номер 56, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Решите неравенство $f'(x) \le g'(x)$, если:

1) $f(x) = e^x(x^2 + 2x - 1)$, $g(x) = 3xe^x$;

2) $f(x) = 2 \cdot 5^{3x+2}$, $g(x) = 3 \cdot 25^{x-4}$.

1)

Даны функции $f(x) = e^x(x^2 + 2x - 1)$ и $g(x) = 3xe^x$.

Для решения неравенства $f'(x) \le g'(x)$ сначала найдем производные этих функций.

Для функции $f(x)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)'(x^2 + 2x - 1) + e^x(x^2 + 2x - 1)'$

$f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 1) + e^x(2x + 2)$

Вынесем $e^x$ за скобки:

$f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 1 + 2x + 2) = e^x(x^2 + 4x + 1)$

Для функции $g(x)$ также используем правило производной произведения:

$g'(x) = (3xe^x)' = 3(x'e^x + x(e^x)') = 3(1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = 3e^x(1+x)$

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$e^x(x^2 + 4x + 1) \le 3e^x(1 + x)$

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $e^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 + 4x + 1 \le 3(1 + x)$

$x^2 + 4x + 1 \le 3 + 3x$

$x^2 + 4x - 3x + 1 - 3 \le 0$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-2, 1]$.

Ответ: $[-2, 1]$.

2)

Даны функции $f(x) = 2 \cdot 5^{3x+2}$ и $g(x) = 3 \cdot 25^{x-4}$.

Найдем производные этих функций. Используем правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = 2 \cdot (5^{3x+2})' = 2 \cdot 5^{3x+2} \cdot \ln(5) \cdot (3x+2)' = 2 \cdot 5^{3x+2} \cdot \ln(5) \cdot 3 = 6 \ln(5) \cdot 5^{3x+2}$

Для нахождения производной функции $g(x)$, сначала преобразуем ее, представив $25$ как $5^2$:

$g(x) = 3 \cdot (5^2)^{x-4} = 3 \cdot 5^{2(x-4)} = 3 \cdot 5^{2x-8}$

Теперь найдем ее производную:

$g'(x) = 3 \cdot (5^{2x-8})' = 3 \cdot 5^{2x-8} \cdot \ln(5) \cdot (2x-8)' = 3 \cdot 5^{2x-8} \cdot \ln(5) \cdot 2 = 6 \ln(5) \cdot 5^{2x-8}$

Составим и решим неравенство $f'(x) \le g'(x)$:

$6 \ln(5) \cdot 5^{3x+2} \le 6 \ln(5) \cdot 5^{2x-8}$

Так как $6 \ln(5)$ является положительной константой ($ \ln(5) > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $6 \ln(5)$, не меняя знака неравенства:

$5^{3x+2} \le 5^{2x-8}$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что неравенство для степеней равносильно неравенству для их показателей:

$3x+2 \le 2x-8$

$3x - 2x \le -8 - 2$

$x \le -10$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, -10]$.

Ответ: $(-\infty, -10]$.