Номер 49, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Решите неравенство:

1) $\log_5 \frac{2x + 1}{x + 1} \ge 1;$

2) $\log_3 \frac{4x - 10}{x} \le 2;$

3) $\log_{0.7} \log_5 \frac{x - 4}{1 - x} \ge 0.$

1) $ \log_{5} \frac{2x + 1}{x + 1} \geqslant 1 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ \frac{2x + 1}{x + 1} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.5 $. Корень знаменателя: $ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 $.

На числовой прямой отмечаем точки -1 и -0.5. Интервалы, удовлетворяющие неравенству: $ (-\infty; -1) $ и $ (-0.5; +\infty) $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (-0.5; +\infty) $.

Теперь решим исходное неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 5: $ 1 = \log_{5} 5 $.

$ \log_{5} \frac{2x + 1}{x + 1} \geqslant \log_{5} 5 $

Так как основание логарифма $ 5 > 1 $, то функция возрастающая, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2x + 1}{x + 1} \geqslant 5 $

Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2x + 1}{x + 1} - 5 \geqslant 0 $

$ \frac{2x + 1 - 5(x + 1)}{x + 1} \geqslant 0 $

$ \frac{2x + 1 - 5x - 5}{x + 1} \geqslant 0 $

$ \frac{-3x - 4}{x + 1} \geqslant 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{3x + 4}{x + 1} \leqslant 0 $

Решим методом интервалов. Корень числителя: $ 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4/3 $. Корень знаменателя: $ x = -1 $.

Решение этого неравенства: $ x \in [-4/3; -1) $.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ x \in [-4/3; -1) \cap ((-\infty; -1) \cup (-0.5; +\infty)) $.

Пересечением является интервал $ [-4/3; -1) $.

Ответ: $ [-4/3; -1) $.

2) $ \log_{3} \frac{4x - 10}{x} \leqslant 2 $

Найдем ОДЗ:

$ \frac{4x - 10}{x} > 0 $

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty) $.

Решим неравенство. Представим 2 как логарифм по основанию 3: $ 2 = \log_{3} 3^2 = \log_{3} 9 $.

$ \log_{3} \frac{4x - 10}{x} \leqslant \log_{3} 9 $

Основание логарифма $ 3 > 1 $, поэтому знак неравенства сохраняется:

$ \frac{4x - 10}{x} \leqslant 9 $

$ \frac{4x - 10}{x} - 9 \leqslant 0 $

$ \frac{4x - 10 - 9x}{x} \leqslant 0 $

$ \frac{-5x - 10}{x} \leqslant 0 $

$ \frac{5x + 10}{x} \geqslant 0 $

Решая методом интервалов, получаем: $ x \in (-\infty; -2] \cup (0; +\infty) $.

Пересекаем полученное решение с ОДЗ $ x \in (-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty) $:

$ ((-\infty; -2] \cup (0; +\infty)) \cap ((-\infty; 0) \cup (2.5; +\infty)) = (-\infty; -2] \cup (2.5; +\infty) $

Ответ: $ (-\infty; -2] \cup (2.5; +\infty) $.

3) $ \log_{0.7} \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} \geqslant 0 $

Это неравенство со вложенными логарифмами. Найдем ОДЗ, которое определяется двумя условиями:

1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положителен:

$ \frac{x - 4}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{x - 4}{x - 1} < 0 \Rightarrow x \in (1; 4) $

2. Аргумент внешнего логарифма (то есть сам внутренний логарифм) должен быть положителен:

$ \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} > 0 \Rightarrow \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} > \log_{5} 1 $

Так как основание $ 5 > 1 $:

$ \frac{x - 4}{1 - x} > 1 \Rightarrow \frac{x - 4}{1 - x} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{x - 4 - (1 - x)}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{2x - 5}{1 - x} > 0 \Rightarrow \frac{2x - 5}{x - 1} < 0 \Rightarrow x \in (1; 2.5) $

Общая ОДЗ является пересечением этих двух условий: $ (1; 4) \cap (1; 2.5) = (1; 2.5) $.

Теперь решим само неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию 0.7: $ 0 = \log_{0.7} 1 $.

$ \log_{0.7} \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} \geqslant \log_{0.7} 1 $

Основание внешнего логарифма $ 0.7 < 1 $, поэтому функция убывающая, и при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} \leqslant 1 $

Представим 1 как $ \log_{5} 5 $:

$ \log_{5} \frac{x - 4}{1 - x} \leqslant \log_{5} 5 $

Основание $ 5 > 1 $, знак не меняется:

$ \frac{x - 4}{1 - x} \leqslant 5 \Rightarrow \frac{x - 4}{1 - x} - 5 \leqslant 0 \Rightarrow \frac{x - 4 - 5(1 - x)}{1 - x} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{6x - 9}{1 - x} \leqslant 0 \Rightarrow \frac{6x - 9}{x - 1} \geqslant 0 $

Решая методом интервалов, получаем: $ x \in (-\infty; 1) \cup [1.5; +\infty) $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (1; 2.5) $:

$ ((-\infty; 1) \cup [1.5; +\infty)) \cap (1; 2.5) = [1.5; 2.5) $

Ответ: $ [1.5; 2.5) $.