Номер 52, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Решите неравенство:

1) $ \log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1 $

2) $ \log_{3x+1}(x^2 - 3) \geq 1 $

1) $log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1$

Данное логарифмическое неравенство с переменным основанием равносильно совокупности двух систем неравенств. Это связано с поведением логарифмической функции в зависимости от ее основания.

Случай 1: Основание логарифма больше 1.

В этом случае функция логарифма является возрастающей, и знак неравенства сохраняется.

$\begin{cases} 3x > 1 \\ x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 - 6x + 8 < (3x)^1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$.

2. $x^2 - 6x + 8 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$. График функции $y=x^2 - 6x + 8$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

3. $x^2 - 6x + 8 < 3x \implies x^2 - 9x + 8 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 8$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (1, 8)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (\frac{1}{3}, \infty) \cap ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap (1, 8)$.

Пересечение этих интервалов дает решение для первого случая: $x \in (1, 2) \cup (4, 8)$.

Случай 2: Основание логарифма находится в интервале от 0 до 1.

В этом случае функция логарифма является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный.

$\begin{cases} 0 < 3x < 1 \\ x^2 - 6x + 8 > 0 \\ x^2 - 6x + 8 > (3x)^1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $0 < 3x < 1 \implies 0 < x < \frac{1}{3}$.

2. $x^2 - 6x + 8 > 0$. Решение из предыдущего случая: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

3. $x^2 - 6x + 8 > 3x \implies x^2 - 9x + 8 > 0$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cap ((-\infty, 2) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, 1) \cup (8, \infty))$.

Пересечение этих множеств дает решение для второго случая: $x \in (0, \frac{1}{3})$.

Итоговое решение неравенства — это объединение решений, полученных в обоих случаях.

$(0, \frac{1}{3}) \cup (1, 2) \cup (4, 8)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (1, 2) \cup (4, 8)$.

2) $log_{3x+1}(x^2 - 3) \geq 1$

Аналогично предыдущему заданию, рассмотрим два случая в зависимости от значения основания логарифма $3x+1$.

Случай 1: Основание $3x+1 > 1$.

Знак неравенства сохраняется.

$\begin{cases} 3x+1 > 1 \\ x^2 - 3 > 0 \\ x^2 - 3 \geq 3x+1 \end{cases}$

Решим систему:

1. $3x+1 > 1 \implies 3x > 0 \implies x > 0$.

2. $x^2 - 3 > 0 \implies x^2 > 3 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

3. $x^2 - 3 \geq 3x+1 \implies x^2 - 3x - 4 \geq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Найдем пересечение полученных решений: $x \in (0, \infty) \cap ((-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [4, \infty))$.

Учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, пересечение этих множеств дает $x \in [4, \infty)$.

Случай 2: Основание $0 < 3x+1 < 1$.

Знак неравенства меняется на противоположный.

$\begin{cases} 0 < 3x+1 < 1 \\ x^2 - 3 > 0 \\ x^2 - 3 \leq 3x+1 \end{cases}$

Решим систему:

1. $0 < 3x+1 < 1 \implies -1 < 3x < 0 \implies -\frac{1}{3} < x < 0$.

2. $x^2 - 3 > 0 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

3. $x^2 - 3 \leq 3x+1 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0$. Решение этого неравенства: $x \in [-1, 4]$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\frac{1}{3}, 0) \cap ((-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)) \cap [-1, 4]$.

Интервал $(-\frac{1}{3}, 0)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$, так как $-\sqrt{3} \approx -1.732$, а $-\frac{1}{3} \approx -0.333$. Следовательно, система не имеет решений в этом случае.

Общее решение неравенства является объединением решений из двух случаев. Так как во втором случае решений нет, итоговое решение совпадает с решением первого случая.

Ответ: $x \in [4, \infty)$.