Номер 58, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \frac{1}{5}\ln(-10x)$, $x_0 = -\frac{1}{15}$;

3) $f(x) = \ln \cos 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{8}$.

1) Для функции $f(x) = \ln(3x + 2)$ в точке $x_0 = 3$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
В нашем случае $u(x) = 3x+2$, тогда $u'(x) = 3$.
Производная функции будет:
$f'(x) = \frac{(3x+2)'}{3x+2} = \frac{3}{3x+2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = \frac{3}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{3}{9+2} = \frac{3}{11}$.
Ответ: $\frac{3}{11}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{5}\ln(-10x)$ в точке $x_0 = -\frac{1}{15}$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы за знак производной:
$f'(x) = \left(\frac{1}{5}\ln(-10x)\right)' = \frac{1}{5} \cdot (\ln(-10x))' = \frac{1}{5} \cdot \frac{(-10x)'}{-10x} = \frac{1}{5} \cdot \frac{-10}{-10x} = \frac{1}{5x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{15}$:
$f'(-\frac{1}{15}) = \frac{1}{5 \cdot (-\frac{1}{15})} = \frac{1}{-\frac{5}{15}} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.
Ответ: $-3$.

3) Для функции $f(x) = \ln(\cos(2x))$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$.
Найдем производную функции, применив цепное правило:
$f'(x) = (\ln(\cos(2x)))' = \frac{1}{\cos(2x)} \cdot (\cos(2x))' = \frac{1}{\cos(2x)} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \frac{-2\sin(2x)}{\cos(2x)}$.
Используя тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, упростим выражение:
$f'(x) = -2\tan(2x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\tan(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{8}) = -2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$.