Номер 64, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (7^x + 1)(7^x - 15)$.

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, чтобы найти точку, в которой касательная горизонтальна, нужно найти корень уравнения $f'(x) = 0$.

1. Сначала упростим вид функции $f(x)$, раскрыв скобки:$f(x) = (7^x + 1)(7^x - 15) = (7^x)^2 - 15 \cdot 7^x + 1 \cdot 7^x - 15 = 7^{2x} - 14 \cdot 7^x - 15$.

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:$f'(x) = (7^{2x} - 14 \cdot 7^x - 15)' = (7^{2x})' - (14 \cdot 7^x)' - (15)'$$f'(x) = 7^{2x} \cdot \ln(7) \cdot (2x)' - 14 \cdot 7^x \cdot \ln(7) - 0$$f'(x) = 2 \cdot 7^{2x} \ln(7) - 14 \cdot 7^x \ln(7)$.

3. Приравняем производную к нулю и найдем абсциссу точки касания:$2 \cdot 7^{2x} \ln(7) - 14 \cdot 7^x \ln(7) = 0$. Вынесем за скобки общий множитель $2 \cdot 7^x \ln(7)$:$2 \cdot 7^x \ln(7) (7^x - 7) = 0$. Поскольку $7^x > 0$ и $\ln(7) \neq 0$, то множитель $2 \cdot 7^x \ln(7)$ не равен нулю. Следовательно, нулю должна быть равна скобка:$7^x - 7 = 0$$7^x = 7^1$$x = 1$.

4. Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная горизонтальна. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x = 1$ в исходное уравнение функции:$y = f(1) = (7^1 + 1)(7^1 - 15) = (7 + 1)(7 - 15) = 8 \cdot (-8) = -64$.

5. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. В данном случае прямая проходит через точку с ординатой $-64$, значит, ее уравнение $y = -64$.

Ответ: $y = -64$.