Номер 69, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 6e^{-x} + ax - 20$ не имеет критических точек?

Критические точки функции – это точки из области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Дана функция $f(x) = 6e^{-x} + ax - 20$. Область определения этой функции – все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Чтобы найти критические точки, нужно найти производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (6e^{-x} + ax - 20)' = (6e^{-x})' + (ax)' - (20)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = 6 \cdot e^{-x} \cdot (-x)' + a \cdot 1 - 0 = -6e^{-x} + a$

Производная $f'(x) = -6e^{-x} + a$ существует при всех действительных значениях $x$, так как показательная функция $e^{-x}$ определена на всей числовой оси. Следовательно, критические точки могут быть только там, где производная равна нулю.

Функция не будет иметь критических точек, если уравнение $f'(x) = 0$ не будет иметь решений.

Составим и решим уравнение:

$-6e^{-x} + a = 0$

$a = 6e^{-x}$

Это уравнение будет иметь решения относительно $x$, если значение параметра $a$ будет принадлежать множеству значений функции $y(x) = 6e^{-x}$.

Показательная функция $e^{z}$ всегда принимает только положительные значения, то есть $e^{z} > 0$ для любого $z$. Значит, $e^{-x} > 0$ для любого $x$.

Следовательно, выражение $6e^{-x}$ также всегда строго больше нуля:

$6e^{-x} > 0$

Это означает, что множество значений функции $y(x) = 6e^{-x}$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Уравнение $a = 6e^{-x}$ будет иметь решение, если $a > 0$.

Соответственно, уравнение не будет иметь решений, если значение $a$ не входит в этот интервал, то есть при $a \le 0$.

Таким образом, при $a \le 0$ производная $f'(x)$ никогда не обращается в ноль, и, следовательно, функция $f(x)$ не имеет критических точек.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.