Номер 76, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 24x^2 - 16x + 1$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(\frac{1}{2}) = 3,5;$

2) $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 1;$

3) $f(x) = \frac{5}{x^2} + 6$, $I = (0; +\infty)$, $F(2,5) = -1.$

1)

Для функции $f(x) = 24x^2 - 16x + 1$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{1}{2}) = 3,5$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (24x^2 - 16x + 1) dx = 24\int x^2 dx - 16\int x dx + \int 1 dx$

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 24 \cdot \frac{x^3}{3} - 16 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 8x^3 - 8x^2 + x + C$.

Это семейство всех первообразных для функции $f(x)$. Чтобы найти конкретную первообразную, используем условие $F(\frac{1}{2}) = 3,5$. Подставим $x = \frac{1}{2}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 8(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + C = 8 \cdot \frac{1}{8} - 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + C = 1 - 2 + 0,5 + C = -0,5 + C$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению:

$-0,5 + C = 3,5$

$C = 3,5 + 0,5 = 4$.

Подставляем найденное значение $C=4$ в общий вид первообразной:

$F(x) = 8x^3 - 8x^2 + x + 4$.

Ответ: $F(x) = 8x^3 - 8x^2 + x + 4$.

2)

Для функции $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(1) = 1$.

Перепишем функцию $f(x)$, используя степенные обозначения: $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8}x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (10x^9 + \frac{3}{8}x^{-1/2}) dx = 10\int x^9 dx + \frac{3}{8}\int x^{-1/2} dx$

$F(x) = 10 \cdot \frac{x^{10}}{10} + \frac{3}{8} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{10} + \frac{3}{8} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} + C$.

Теперь используем условие $F(1) = 1$. Подставим $x = 1$:

$F(1) = 1^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{1} + C = 1 + \frac{3}{4} + C = \frac{7}{4} + C$.

Решим уравнение относительно $C$:

$\frac{7}{4} + C = 1$

$C = 1 - \frac{7}{4} = \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4}$.

Подставляем значение $C$ обратно в выражение для $F(x)$:

$F(x) = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} - \frac{3}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} - \frac{3}{4}$.

3)

Для функции $f(x) = \frac{5}{x^2} + 6$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(2,5) = -1$.

Перепишем функцию в виде $f(x) = 5x^{-2} + 6$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (5x^{-2} + 6) dx = 5\int x^{-2} dx + \int 6 dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 6x + C = -5x^{-1} + 6x + C = -\frac{5}{x} + 6x + C$.

Используем условие $F(2,5) = -1$. Подставим $x = 2,5$:

$F(2,5) = -\frac{5}{2,5} + 6 \cdot 2,5 + C = -2 + 15 + C = 13 + C$.

Решим уравнение относительно $C$:

$13 + C = -1$

$C = -1 - 13 = -14$.

Подставляем значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = -\frac{5}{x} + 6x - 14$.

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{x} + 6x - 14$.