Номер 72, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Является ли функция $F(x) = 8 + \frac{3}{x^5}$ первообразной функции $f(x) = -\frac{15}{x^6}$ на промежутке:

1) $(-\infty; 0)$;

2) $(-8; 8)$;

3) $[0; +\infty)$;

4) $[-8; 0)$?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = 8 + \frac{3}{x^5}$.

Представим функцию в виде $F(x) = 8 + 3x^{-5}$ и применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (8 + 3x^{-5})' = (8)' + (3x^{-5})' = 0 + 3 \cdot (-5)x^{-5-1} = -15x^{-6} = -\frac{15}{x^6}$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = -\frac{15}{x^6}$.

Теперь нужно проверить, на каких из предложенных промежутков функция $F(x)$ определена и дифференцируема. Область определения функции $F(x)$ — все действительные числа, кроме $x=0$ (так как знаменатель $x^5$ не может быть равен нулю). Следовательно, $F(x)$ может быть первообразной только на тех промежутках, которые не содержат точку $x=0$.

1) $(-\infty; 0)$
Данный промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется, и функция $F(x)$ определена. Значит, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.
Ответ: да.

2) $(-8; 8)$
Данный промежуток содержит точку $x=0$, в которой функция $F(x)$ не определена. Следовательно, она не может быть первообразной на всем промежутке $(-8; 8)$.
Ответ: нет.

3) $[0; +\infty)$
Данный промежуток содержит точку $x=0$, в которой функция $F(x)$ не определена. Следовательно, она не может быть первообразной на этом промежутке.
Ответ: нет.

4) $[-8; 0)$
Данный промежуток содержит точку $x=0$ (в качестве граничной точки). Поскольку функция $F(x)$ не определена в $x=0$, она не может быть первообразной на этом промежутке.
Ответ: нет.