Номер 75, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x - 10$;

2) $f(x) = 5x^4 - 6x + 2$;

3) $f(x) = 18x^5 + 16x^7$;

4) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

5) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

6) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$;

7) $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1) $f(x) = x - 10$

Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правило интегрирования константы $\int k \,dx = kx + C$.

$F(x) = \int (x - 10) \,dx = \int x^1 \,dx - \int 10 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 10x + C = \frac{x^2}{2} - 10x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 10x + C$

2) $f(x) = 5x^4 - 6x + 2$

Найдем неопределенный интеграл от функции, применяя правила интегрирования для суммы/разности функций и степенной функции:

$F(x) = \int (5x^4 - 6x + 2) \,dx = 5 \int x^4 \,dx - 6 \int x^1 \,dx + \int 2 \,dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^5 - 3x^2 + 2x + C$.

Ответ: $F(x) = x^5 - 3x^2 + 2x + C$

3) $f(x) = 18x^5 + 16x^7$

Найдем неопределенный интеграл от данной функции:

$F(x) = \int (18x^5 + 16x^7) \,dx = 18 \int x^5 \,dx + 16 \int x^7 \,dx$

$F(x) = 18 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 16 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 18 \cdot \frac{x^6}{6} + 16 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 3x^6 + 2x^8 + C$.

Ответ: $F(x) = 3x^6 + 2x^8 + C$

4) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$

Сначала преобразуем функцию к удобному для интегрирования виду: $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}} = x^2 + 7x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (x^2 + 7x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 7 \int x^{-1/2} \,dx$

Используя правило для степенной функции, получаем:

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 7 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 7 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 14x^{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$

5) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

Преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6} = 4x^{-2} - 10x^{-6}$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (4x^{-2} - 10x^{-6}) \,dx = 4 \int x^{-2} \,dx - 10 \int x^{-6} \,dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 10 \cdot \frac{x^{-6+1}}{-6+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 10 \cdot \frac{x^{-5}}{-5} + C = -4x^{-1} + 2x^{-5} + C = -\frac{4}{x} + \frac{2}{x^5} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{4}{x} + \frac{2}{x^5} + C$

6) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$

Для нахождения общего вида первообразных найдем неопределенный интеграл функции. Используем табличные интегралы от тригонометрических функций: $\int \sin x \,dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = -\cot x + C$.

$F(x) = \int (6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) \,dx = 6 \int \sin x \,dx + 3 \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx$

$F(x) = 6(-\cos x) + 3(-\cot x) + C = -6\cos x - 3\cot x + C$.

Ответ: $F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$

7) $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7$ на промежутке $[0; +\infty)$

Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7 = 4x^{1/2} - 8x^7$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (4x^{1/2} - 8x^7) \,dx = 4 \int x^{1/2} \,dx - 8 \int x^7 \,dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 8 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 4 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - x^8 + C = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^8 + C$.

Результат также можно записать в виде $\frac{8}{3}x\sqrt{x} - x^8 + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^8 + C$