Номер 82, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Функция F — первообразная функции $f(x) = 4 - 8x$, график которой имеет с графиком функции f общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную F и все точки пересечения графиков функций f и F.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

Найдите первообразную F

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 4 - 8x$. Первообразная $F(x)$ является интегралом от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (4 - 8x) \,dx = \int 4 \,dx - \int 8x \,dx = 4x - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x - 4x^2 + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -4x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. По условию, график первообразной $F(x)$ имеет с графиком функции $f(x)$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Ось ординат — это линия, где $x=0$. Это означает, что значения функций в этой точке совпадают, то есть $F(0) = f(0)$.

3. Найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$:

$f(0) = 4 - 8 \cdot 0 = 4$.

4. Найдем значение функции $F(x)$ при $x=0$:

$F(0) = -4 \cdot (0)^2 + 4 \cdot 0 + C = C$.

5. Приравняем полученные значения, чтобы найти $C$:

$F(0) = f(0) \implies C = 4$.

6. Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получим искомую функцию $F(x)$:

$F(x) = -4x^2 + 4x + 4$.

Ответ: $F(x) = -4x^2 + 4x + 4$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

1. Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить уравнение $f(x) = F(x)$:

$4 - 8x = -4x^2 + 4x + 4$.

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 8x - 4x + 4 - 4 = 0$

$4x^2 - 12x = 0$.

3. Решим полученное уравнение. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$.

4. Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$) для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из функций. Возьмем $f(x) = 4 - 8x$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 4 - 8 \cdot 0 = 4$.

Первая точка пересечения — $(0, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = f(3) = 4 - 8 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$.

Вторая точка пересечения — $(3, -20)$.

Ответ: $(0, 4)$ и $(3, -20)$.