Номер 86, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите первообразную функции $f(x) = -3x + 5$, график которой имеет с прямой $y = -1$ только одну общую точку.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти общий вид первообразной для функции $f(x) = -3x + 5$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-3x + 5) dx = -3 \int x dx + 5 \int dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

Итак, общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Проанализировать условие о наличии только одной общей точки.

График функции $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x + C$ является параболой. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{3}{2}$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Прямая $y = -1$ является горизонтальной. Парабола с ветвями, направленными вниз, может иметь с горизонтальной прямой только одну общую точку лишь в том случае, если эта прямая проходит через вершину параболы. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна $-1$.

3. Найти координаты вершины параболы.

Координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.

Для нашей функции $F(x)$ имеем $a = -\frac{3}{2}$ и $b = 5$.

Найдём абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{5}{-3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдём ординату вершины, подставив $x_0$ в уравнение первообразной:

$y_0 = F(\frac{5}{3}) = -\frac{3}{2} \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{3} + C = -\frac{3}{2} \cdot \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + C = -\frac{25}{6} + \frac{50}{6} + C = \frac{25}{6} + C$

4. Найти значение константы $C$.

Как мы установили, ордината вершины $y_0$ должна быть равна $-1$:

$y_0 = -1$

$\frac{25}{6} + C = -1$

$C = -1 - \frac{25}{6} = -\frac{6}{6} - \frac{25}{6} = -\frac{31}{6}$

5. Записать итоговую функцию первообразной.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x - \frac{31}{6}$

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x - \frac{31}{6}$