Страница 82 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Найдите первообразную функции $f(x) = 3 - 8x$, один из нулей которой равен $-1$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3 - 8x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной, которую обозначим как $F(x)$, имеет вид:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (3 - 8x) dx$

Используя правила интегрирования, находим:

$F(x) = \int 3 dx - \int 8x dx = 3x - 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3x - 8 \frac{x^2}{2} + C = 3x - 4x^2 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

В условии задачи сказано, что один из нулей искомой первообразной равен $-1$. Это означает, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ равно нулю, то есть выполняется условие $F(-1) = 0$.

Подставим $x = -1$ в выражение для $F(x)$ и найдем значение постоянной $C$:

$F(-1) = 3(-1) - 4(-1)^2 + C = 0$

$-3 - 4 \cdot 1 + C = 0$

$-3 - 4 + C = 0$

$-7 + C = 0$

$C = 7$

Теперь, подставив найденное значение $C = 7$ в общий вид первообразной, получим искомую функцию:

$F(x) = 3x - 4x^2 + 7$

Расположив члены в порядке убывания степеней $x$, получим:

$F(x) = -4x^2 + 3x + 7$

Ответ: $F(x) = -4x^2 + 3x + 7$.

80. Найдите первообразную функции $f(x) = 9x^2 - 16x + 2$, один из нулей которой равен 2.

Первообразной для функции $f(x)$ является функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Чтобы найти все первообразные для данной функции, нужно вычислить неопределенный интеграл.

1. Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 9x^2 - 16x + 2$:

$F(x) = \int (9x^2 - 16x + 2) dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = 9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 16 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x + C$

$F(x) = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - 16 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C$

$F(x) = 3x^3 - 8x^2 + 2x + C$

где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

2. Используем условие, что один из нулей первообразной равен 2. Это означает, что $F(2) = 0$. Подставим значение $x=2$ в полученное выражение для $F(x)$ и решим уравнение относительно $C$:

$F(2) = 3(2)^3 - 8(2)^2 + 2(2) + C = 0$

Выполним вычисления:

$3 \cdot 8 - 8 \cdot 4 + 4 + C = 0$

$24 - 32 + 4 + C = 0$

$-8 + 4 + C = 0$

$-4 + C = 0$

$C = 4$

3. Теперь подставим найденное значение $C=4$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = 3x^3 - 8x^2 + 2x + 4$

Ответ: $F(x) = 3x^3 - 8x^2 + 2x + 4$

81. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Для того чтобы найти формулу зависимости координаты точки от времени, $s(t)$, необходимо найти первообразную для функции скорости $v(t)$, поскольку скорость является производной от координаты по времени ($v(t) = s'(t)$).

Заданная функция скорости: $v(t) = t^2 - 4t$.

Находим первообразную (неопределенный интеграл) для $v(t)$:
$s(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 - 4t) dt = \frac{t^3}{3} - 4 \frac{t^2}{2} + C$
$s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + C$
Здесь $C$ — это константа интегрирования, которую нужно определить.

Для нахождения константы $C$ используем условие, что в момент времени $t = 3$ с, точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат, то есть $s(3) = 18$.

Подставим эти значения в общее уравнение для координаты $s(t)$:
$18 = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + C$
$18 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + C$
$18 = 9 - 18 + C$
$18 = -9 + C$

Из последнего уравнения находим $C$:
$C = 18 + 9$
$C = 27$

Теперь подставляем найденное значение $C$ в общее выражение для $s(t)$, чтобы получить искомую формулу:
$s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 27$

Ответ: $s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 27$.

82. Функция F — первообразная функции $f(x) = 4 - 8x$, график которой имеет с графиком функции f общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную F и все точки пересечения графиков функций f и F.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

Найдите первообразную F

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 4 - 8x$. Первообразная $F(x)$ является интегралом от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (4 - 8x) \,dx = \int 4 \,dx - \int 8x \,dx = 4x - 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x - 4x^2 + C$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = -4x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. По условию, график первообразной $F(x)$ имеет с графиком функции $f(x)$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Ось ординат — это линия, где $x=0$. Это означает, что значения функций в этой точке совпадают, то есть $F(0) = f(0)$.

3. Найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$:

$f(0) = 4 - 8 \cdot 0 = 4$.

4. Найдем значение функции $F(x)$ при $x=0$:

$F(0) = -4 \cdot (0)^2 + 4 \cdot 0 + C = C$.

5. Приравняем полученные значения, чтобы найти $C$:

$F(0) = f(0) \implies C = 4$.

6. Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получим искомую функцию $F(x)$:

$F(x) = -4x^2 + 4x + 4$.

Ответ: $F(x) = -4x^2 + 4x + 4$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

1. Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить уравнение $f(x) = F(x)$:

$4 - 8x = -4x^2 + 4x + 4$.

2. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 8x - 4x + 4 - 4 = 0$

$4x^2 - 12x = 0$.

3. Решим полученное уравнение. Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$.

4. Теперь найдем соответствующие ординаты (координаты $y$) для каждой точки пересечения, подставив найденные значения $x$ в уравнение любой из функций. Возьмем $f(x) = 4 - 8x$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 4 - 8 \cdot 0 = 4$.

Первая точка пересечения — $(0, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = f(3) = 4 - 8 \cdot 3 = 4 - 24 = -20$.

Вторая точка пересечения — $(3, -20)$.

Ответ: $(0, 4)$ и $(3, -20)$.

83. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(-\infty; +\infty)$, график которой проходит через точку $M(-1; 3)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $3 - 6x^5$.

Пусть искомая функция — $y = f(x)$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x)$. По условию задачи, угловой коэффициент равен $3 - 6x^5$. Следовательно, мы имеем дифференциальное уравнение:

$f'(x) = 3 - 6x^5$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, нужно найти первообразную (неопределенный интеграл) от её производной $f'(x)$:

$f(x) = \int (3 - 6x^5) dx = \int 3 dx - \int 6x^5 dx$

Используя правила интегрирования, получаем:

$f(x) = 3x - 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 3x - 6 \frac{x^6}{6} + C = 3x - x^6 + C$

Здесь $C$ — это произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили семейство функций, удовлетворяющих условию о касательной.

Чтобы найти конкретную функцию из этого семейства, используем второе условие: график функции проходит через точку $M(-1; 3)$. Это значит, что при $x = -1$, значение функции $f(x)$ равно $3$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$f(-1) = 3(-1) - (-1)^6 + C = 3$

Выполним вычисления:

$-3 - 1 + C = 3$

$-4 + C = 3$

$C = 3 + 4$

$C = 7$

Теперь подставляем найденное значение константы $C=7$ обратно в формулу для $f(x)$:

$f(x) = 3x - x^6 + 7$

Данная функция является многочленом, поэтому она определена на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $f(x) = 3x - x^6 + 7$

84. Найдите:

1) $\int (x^2 + 5x)^2 dx;$

2) $\int \sin^2 \frac{x}{4} dx;$

3) $\int \sin 8x \sin 5x dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int(x^2 + 5x)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.
Теперь интегрируем полученный многочлен почленно, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$\int (x^4 + 10x^3 + 25x^2) dx = \int x^4 dx + \int 10x^3 dx + \int 25x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + 10 \frac{x^{3+1}}{3+1} + 25 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} + 10 \frac{x^4}{4} + 25 \frac{x^3}{3} + C = \frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{2}x^4 + \frac{25}{3}x^3 + C$.
Ответ: $\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{2}x^4 + \frac{25}{3}x^3 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \sin^2 \frac{x}{4} dx$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.
Подставляем в интеграл:
$\int \sin^2 \frac{x}{4} dx = \int \frac{1 - \cos(\frac{x}{2})}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(\frac{x}{2})) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx - \int \cos(\frac{x}{2}) dx)$.
Находим интегралы по отдельности:
$\int 1 dx = x$.
$\int \cos(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{1/2} \sin(\frac{x}{2}) = 2\sin(\frac{x}{2})$.
Собираем все вместе:
$\frac{1}{2} (x - 2\sin(\frac{x}{2})) + C = \frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2}) + C$.
Ответ: $\frac{x}{2} - \sin(\frac{x}{2}) + C$.

3) Для нахождения интеграла $\int \sin 8x \sin 5x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 8x$ и $\beta = 5x$.
$\sin 8x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(8x - 5x) - \cos(8x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x)$.
Подставляем полученное выражение в интеграл:
$\int \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx - \int \cos 13x dx)$.
Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$, получаем:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x - \frac{1}{13} \sin 13x) + C = \frac{1}{6} \sin 3x - \frac{1}{26} \sin 13x + C$.
Ответ: $\frac{1}{6} \sin 3x - \frac{1}{26} \sin 13x + C$.

85. Найдите общий вид первообразных функции f на промежутке I:

1) $f(x) = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{6}$, $I = (-3\pi; 3\pi)$;

2) $f(x) = \frac{4x^6 - x^4 + 3}{x^3}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{6}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Обозначим искомую первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int \text{tg}^2 \frac{x}{6} dx$.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Отсюда $\text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получаем:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{6}} - 1$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{6}} - 1\right) dx = \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{6}} - \int 1 dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности. Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 kx}$ является табличным: $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\text{tg}(kx) + C$.

В нашем случае $k = \frac{1}{6}$, следовательно:

$\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{6}} = \frac{1}{1/6} \text{tg} \frac{x}{6} = 6 \text{tg} \frac{x}{6}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 6 \text{tg} \frac{x}{6} - x + C$.

Функция $\text{tg} \frac{x}{6}$ определена, когда $\cos \frac{x}{6} \neq 0$, то есть $\frac{x}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x \neq 3\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На заданном интервале $I = (-3\pi; 3\pi)$ функция непрерывна, так как точки разрыва $x = -3\pi$ и $x = 3\pi$ не входят в этот интервал.

Ответ: $F(x) = 6 \text{tg} \frac{x}{6} - x + C$.

2) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{4x^6 - x^4 + 3}{x^3}$, сначала упростим выражение, разделив почленно числитель на знаменатель.

$f(x) = \frac{4x^6}{x^3} - \frac{x^4}{x^3} + \frac{3}{x^3} = 4x^3 - x + 3x^{-3}$.

Теперь найдем первообразную $F(x)$, проинтегрировав полученную функцию. Используем правило для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (4x^3 - x + 3x^{-3}) dx = \int 4x^3 dx - \int x dx + \int 3x^{-3} dx$.

Вычислим каждый интеграл:

$\int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

$\int 3x^{-3} dx = 3 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{3}{2}x^{-2} = -\frac{3}{2x^2}$.

Теперь соберем все части вместе и добавим произвольную постоянную $C$, чтобы получить общий вид первообразной:

$F(x) = x^4 - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} + C$.

Данная функция определена для всех $x \neq 0$, что включает в себя заданный интервал $I = (0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = x^4 - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2x^2} + C$.

86. Найдите первообразную функции $f(x) = -3x + 5$, график которой имеет с прямой $y = -1$ только одну общую точку.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти общий вид первообразной для функции $f(x) = -3x + 5$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-3x + 5) dx = -3 \int x dx + 5 \int dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

Итак, общий вид первообразной: $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Проанализировать условие о наличии только одной общей точки.

График функции $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x + C$ является параболой. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{3}{2}$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

Прямая $y = -1$ является горизонтальной. Парабола с ветвями, направленными вниз, может иметь с горизонтальной прямой только одну общую точку лишь в том случае, если эта прямая проходит через вершину параболы. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна $-1$.

3. Найти координаты вершины параболы.

Координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.

Для нашей функции $F(x)$ имеем $a = -\frac{3}{2}$ и $b = 5$.

Найдём абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{5}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{5}{-3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдём ординату вершины, подставив $x_0$ в уравнение первообразной:

$y_0 = F(\frac{5}{3}) = -\frac{3}{2} \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5 \cdot \frac{5}{3} + C = -\frac{3}{2} \cdot \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + C = -\frac{25}{6} + \frac{50}{6} + C = \frac{25}{6} + C$

4. Найти значение константы $C$.

Как мы установили, ордината вершины $y_0$ должна быть равна $-1$:

$y_0 = -1$

$\frac{25}{6} + C = -1$

$C = -1 - \frac{25}{6} = -\frac{6}{6} - \frac{25}{6} = -\frac{31}{6}$

5. Записать итоговую функцию первообразной.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x - \frac{31}{6}$

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 5x - \frac{31}{6}$