Страница 84 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. На рисунке 9 изображён график некоторой функции $y = f(x)$. Функция $F(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 6$ является одной из первообразных функции $f$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Рис. 9

Площадь заштрихованной фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$.

Из графика видно, что пределы интегрирования равны $a = -1$ и $b = 2$.

По условию задачи, функция $F(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 6$ является одной из первообразных для функции $f(x)$.

Для вычисления площади найдем значения первообразной $F(x)$ в точках $x = 2$ и $x = -1$.

Вычисляем $F(2)$:

$F(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 6 = 8 - 3 \cdot 4 + 12 - 6 = 8 - 12 + 12 - 6 = 2$

Вычисляем $F(-1)$:

$F(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 6 = -1 - 3 \cdot 1 - 6 - 6 = -1 - 3 - 6 - 6 = -16$

Теперь подставляем найденные значения в формулу Ньютона-Лейбница для вычисления площади:

$S = F(2) - F(-1) = 2 - (-16) = 2 + 16 = 18$

Ответ: 18

90. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной:

1) параболой $y = x^2$ и прямыми $y = 0, x = -3$ и $x = -1$;

2) графиком функции $y = x^5$ и прямыми $y = 0, x = 1$ и $x = 2$;

3) графиком функции $y = \cos x$ и прямыми $y = 0, x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{4}$;

4) параболой $y = -x^2 - 2x$ и осью абсцисс;

5) параболой $y = x^2 - 3x$, осью абсцисс и прямой $x = 5$;

6) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $y = 0, x = 4$ и $x = 16$;

7) графиком функции $y = \sqrt{x + 2}$ и прямыми $y = 0$ и $x = 7$;

8) графиком функции $y = \sin \frac{x}{3}$ и прямыми $y = 0, x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$;

9) графиком функции $y = 4^x$ и прямыми $y = 0, x = -2$ и $x = 1$;

10) графиком функции $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $y = 0, x = 2$ и $x = 8$.

1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = -3$ и $x = -1$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = x^2$ неотрицательна на отрезке $[-3, -1]$.
$S = \int_{-3}^{-1} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-27}{3} = \frac{-1 + 27}{3} = \frac{26}{3}$.
Ответ: $\frac{26}{3}$.

2) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^5$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = 1$ и $x = 2$, вычисляется как определенный интеграл. Функция $f(x) = x^5$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.
$S = \int_{1}^{2} x^5 \,dx = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{1}^{2} = \frac{2^6}{6} - \frac{1^6}{6} = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}$.
Ответ: $\frac{21}{2}$.

3) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ функция $f(x) = \cos x$ неотрицательна.
$S = \int_{-\pi/3}^{\pi/4} \cos x \,dx = \left[ \sin x \right]_{-\pi/3}^{\pi/4} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$.

4) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 - 2x$ и осью абсцисс. Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $-x^2 - 2x = 0$.
$-x(x + 2) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -2$.
На отрезке $[-2, 0]$ парабола находится выше оси абсцисс, то есть $y \ge 0$.
$S = \int_{-2}^{0} (-x^2 - 2x) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-2}^{0} = (0) - (-\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2) = -(\frac{8}{3} - 4) = -(\frac{8-12}{3}) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = x^2 - 3x$, осью абсцисс и прямой $x=5$. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс: $x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3)=0 \implies x_1 = 0, x_2 = 3$.
Площадь рассматривается на отрезке $[0, 5]$. На интервале $(0, 3)$ функция отрицательна, а на интервале $(3, 5)$ — положительна. Поэтому площадь вычисляется как сумма двух интегралов:
$S = \int_{0}^{5} |x^2 - 3x| \,dx = \int_{0}^{3} -(x^2 - 3x) \,dx + \int_{3}^{5} (x^2 - 3x) \,dx$.
$\int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} = (-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$.
$\int_{3}^{5} (x^2 - 3x) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right]_{3}^{5} = (\frac{125}{3} - \frac{75}{2}) - (\frac{27}{3} - \frac{27}{2}) = (\frac{250-225}{6}) - (\frac{54-81}{6}) = \frac{25}{6} - (-\frac{27}{6}) = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$.
$S = \frac{9}{2} + \frac{26}{3} = \frac{27 + 52}{6} = \frac{79}{6}$.
Ответ: $\frac{79}{6}$.

6) Площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = 4$ и $x = 16$. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ неотрицательна на отрезке $[4, 16]$.
$S = \int_{4}^{16} \sqrt{x} \,dx = \int_{4}^{16} x^{1/2} \,dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{4}^{16} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_{4}^{16} = \frac{2}{3}(16\sqrt{16} - 4\sqrt{4}) = \frac{2}{3}(16 \cdot 4 - 4 \cdot 2) = \frac{2}{3}(64 - 8) = \frac{2 \cdot 56}{3} = \frac{112}{3}$.
Ответ: $\frac{112}{3}$.

7) Фигура ограничена графиком $y = \sqrt{x+2}$, осью абсцисс и прямой $x=7$. Нижний предел интегрирования — это точка пересечения графика с осью абсцисс: $\sqrt{x+2}=0 \implies x=-2$. Функция неотрицательна на отрезке $[-2, 7]$.
$S = \int_{-2}^{7} \sqrt{x+2} \,dx$. Сделаем замену $u = x+2$, $du=dx$. Новые пределы: $u_1 = -2+2=0$, $u_2 = 7+2=9$.
$S = \int_{0}^{9} \sqrt{u} \,du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{0}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$.
Ответ: $18$.

8) Площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin\frac{x}{3}$, осью абсцисс и прямыми $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ аргумент $\frac{x}{3}$ меняется от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{3}$, где синус положителен.
$S = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin\frac{x}{3} \,dx = \left[ -3\cos\frac{x}{3} \right]_{\pi/2}^{\pi} = -3\cos(\frac{\pi}{3}) - (-3\cos(\frac{\pi}{6})) = -3 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}-3}{2}$.
Ответ: $\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}$.

9) Площадь фигуры, ограниченной графиком $y = 4^x$, осью абсцисс и прямыми $x = -2$ и $x = 1$. Функция $y=4^x$ всегда положительна.
$S = \int_{-2}^{1} 4^x \,dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{-2}^{1} = \frac{4^1}{\ln 4} - \frac{4^{-2}}{\ln 4} = \frac{1}{\ln 4} (4 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{\ln 4} (\frac{64-1}{16}) = \frac{63}{16\ln 4}$.
Ответ: $\frac{63}{16\ln 4}$.

10) Площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x = 2$ и $x = 8$. На отрезке $[2, 8]$ функция $y = \frac{1}{x}$ положительна.
$S = \int_{2}^{8} \frac{1}{x} \,dx = \left[ \ln|x| \right]_{2}^{8} = \ln 8 - \ln 2 = \ln(\frac{8}{2}) = \ln 4$.
Ответ: $\ln 4$.