Страница 86 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 11.

Рис. 11

a

$y = 13 - 4x$

$y = \frac{9}{x^2}$

б

$y = \frac{4}{x^2}$

$y = -0.5x$

в

$y = 3x^2 - x^3$

$y = 3 - x$

г

$y = 2 - \sin x$

$y = \sin x$

а)

Площадь заштрихованной фигуры ограничена сверху графиком функции $y = 13 - 4x$, снизу — графиком функции $y = \frac{9}{x^2}$, и по бокам — прямыми $x=1$ и $x=3$.

Для вычисления площади воспользуемся формулой определенного интеграла: $S = \int_a^b (f(x) - g(x))dx$, где $f(x)$ — верхняя граница, а $g(x)$ — нижняя.

$S = \int_1^3 \left( (13 - 4x) - \frac{9}{x^2} \right) dx = \int_1^3 \left( 13 - 4x - 9x^{-2} \right) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = 13x - 4\frac{x^2}{2} - 9\frac{x^{-1}}{-1} = 13x - 2x^2 + \frac{9}{x}$

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(3) - F(1) = \left( 13 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2 + \frac{9}{3} \right) - \left( 13 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 + \frac{9}{1} \right)$

$S = (39 - 18 + 3) - (13 - 2 + 9) = 24 - 20 = 4$

Ответ: 4

б)

Фигура ограничена сверху графиком $y = \frac{4}{x^2}$, снизу — графиком $y = -0,5x$, и по бокам — прямыми $x=-2$ и $x=-1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{-1} \left( \frac{4}{x^2} - (-0,5x) \right) dx = \int_{-2}^{-1} \left( 4x^{-2} + 0,5x \right) dx$

Первообразная:

$F(x) = 4\frac{x^{-1}}{-1} + 0,5\frac{x^2}{2} = -\frac{4}{x} + \frac{x^2}{4}$

Вычисление:

$S = F(-1) - F(-2) = \left( -\frac{4}{-1} + \frac{(-1)^2}{4} \right) - \left( -\frac{4}{-2} + \frac{(-2)^2}{4} \right)$

$S = \left( 4 + \frac{1}{4} \right) - \left( 2 + \frac{4}{4} \right) = 4,25 - (2 + 1) = 4,25 - 3 = 1,25$

Ответ: 1,25

в)

Фигура ограничена графиками функций $y = 3x^2 - x^3$ и $y = 3-x$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $3x^2 - x^3 = 3-x$:

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$

$x^2(x-3) - (x-3) = 0$

$(x^2-1)(x-3) = 0$

$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$

Корни: $x=-1, x=1, x=3$. Из графика видно, что заштрихованная область находится в пределах от $x=1$ до $x=3$.

На интервале $(1, 3)$ график $y = 3x^2 - x^3$ находится выше графика $y = 3-x$.

$S = \int_1^3 \left( (3x^2 - x^3) - (3 - x) \right) dx = \int_1^3 (-x^3 + 3x^2 + x - 3) dx$

Первообразная:

$F(x) = -\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{x^2}{2} - 3x$

Вычисление:

$S = F(3) - F(1) = \left( -\frac{3^4}{4} + 3^3 + \frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{1^2}{2} - 3 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{81}{4} + 27 + \frac{9}{2} - 9 \right) - \left( -\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3 \right) = \left( 18 - \frac{81}{4} + \frac{18}{4} \right) - \left( -2 - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \right)$

$S = \left( \frac{72-81+18}{4} \right) - \left( \frac{-8-1+2}{4} \right) = \frac{9}{4} - \left( -\frac{7}{4} \right) = \frac{9+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Ответ: 4

г)

Фигура ограничена графиками $y = 2 - \sin x$, $y = \sin x$ и осью $y$ ($x=0$).

Найдем правый предел интегрирования, приравняв функции:

$2 - \sin x = \sin x \implies 2 = 2\sin x \implies \sin x = 1$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2}$. Левый предел $x=0$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ график $y = 2 - \sin x$ находится выше графика $y = \sin x$.

$S = \int_0^{\pi/2} \left( (2 - \sin x) - \sin x \right) dx = \int_0^{\pi/2} (2 - 2\sin x) dx$

Первообразная:

$F(x) = 2x - 2(-\cos x) = 2x + 2\cos x$

Вычисление:

$S = F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 2\cos\frac{\pi}{2} \right) - (2 \cdot 0 + 2\cos 0)$

$S = (\pi + 2 \cdot 0) - (0 + 2 \cdot 1) = \pi - 2$

Ответ: $\pi - 2$

93. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = 3 - x^2$ и прямой $y = 2$;

2) параболой $y = -x^2 - 4x$ и прямой $y = x + 4$;

3) параболой $y = 6x - x^2$, прямой $y = 9$ и осью ординат;

4) параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и прямой $y = 5 - x$;

5) графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$;

6) параболами $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$;

7) графиком функции $y = e^{-x}$ и прямыми $y = 1$, $x = -3$;

8) графиком функции $y = \frac{8}{x}$ и прямыми $x = 2$, $y = 2$;

9) графиком функции $y = \frac{7}{x}$ и прямыми $x = 7$, $y = 7$;

10) графиком функции $y = \frac{4}{x}$ и прямыми $y = 3x + 1$, $x = 2$;

11) графиками функций $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$ и прямой $x = 3$.

1) параболой $y = 3 - x^2$ и прямой $y = 2$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения:

$3 - x^2 = 2$

$x^2 = 1$

$x_1 = -1$, $x_2 = 1$

Это пределы интегрирования. В интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 3 - x^2$ находится выше прямой $y = 2$, так как, например, при $x=0$, $y=3$, что больше 2. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - 2) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) параболой $y = -x^2 - 4x$ и прямой $y = x + 4$

Найдем точки пересечения графиков:

$-x^2 - 4x = x + 4$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -4$, $x_2 = -1$. Это пределы интегрирования.

В интервале $(-4, -1)$ определим, какая функция является верхней. Возьмем точку $x=-2$:

$y_{парабола} = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$

$y_{прямая} = -2 + 4 = 2$

Так как $4 > 2$, парабола является верхней функцией. Площадь фигуры:

$S = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (x + 4)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{-4}^{-1} = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2} - 4(-1) \right) - \left( -\frac{(-4)^3}{3} - \frac{5(-4)^2}{2} - 4(-4) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left( \frac{64}{3} - 40 + 16 \right) = \left( \frac{2 - 15 + 24}{6} \right) - \left( \frac{64}{3} - 24 \right) = \frac{11}{6} - \frac{64 - 72}{3} = \frac{11}{6} + \frac{8}{3} = \frac{11 + 16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$

3) параболой $y = 6x - x^2$, прямой $y = 9$ и осью ординат

Найдем точку касания параболы и прямой $y=9$. Вершина параболы $y = -x^2 + 6x$ находится в точке $x = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. Значение в вершине: $y(3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$. Таким образом, парабола касается прямой $y=9$ в точке $x=3$.

Фигура ограничена осью ординат ($x=0$), прямой $y=9$ (сверху) и параболой $y=6x-x^2$ (снизу). Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=3$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{3} (9 - (6x - x^2)) dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(0-3)^3}{3} = 0 - \frac{-27}{3} = 9$

Ответ: 9

4) параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и прямой $y = 5 - x$

Найдем точки пересечения:

$x^2 - 4x + 5 = 5 - x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.

В интервале $(0, 3)$ определим верхнюю функцию, взяв точку $x=1$:

$y_{парабола} = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$

$y_{прямая} = 5 - 1 = 4$

Так как $4 > 2$, прямая является верхней функцией. Площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{3} ((5 - x) - (x^2 - 4x + 5)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $\frac{9}{2}$

5) графиками функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$

Найдем точки пересечения:

$\sqrt{x} = x \implies x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

В интервале $(0, 1)$ возьмем точку $x=1/4$. $y_1 = \sqrt{1/4} = 1/2$, $y_2 = 1/4$. Так как $1/2 > 1/4$, функция $y=\sqrt{x}$ является верхней.

Площадь фигуры:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

6) параболами $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$

Найдем точки пересечения:

$x^2 + 2x + 1 = 5 - x^2$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Это пределы интегрирования.

В интервале $(-2, 1)$ возьмем точку $x=0$. $y_1 = 0^2+2(0)+1 = 1$, $y_2 = 5-0^2 = 5$. Так как $5>1$, парабола $y=5-x^2$ является верхней.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\frac{2x^3}{3} - x^2 + 4x \right]_{-2}^{1} = \left( -\frac{2}{3} - 1 + 4 \right) - \left( -\frac{2(-8)}{3} - 4 - 8 \right) = \left( 3 - \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{16}{3} - 12 \right) = \frac{7}{3} - \frac{16-36}{3} = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: 9

7) графиком функции $y = e^{-x}$ и прямыми $y = 1, x = -3$

Найдем точку пересечения $y = e^{-x}$ и $y = 1$: $e^{-x} = 1 \implies -x = 0 \implies x = 0$.

Фигура ограничена прямыми $x=-3$ и $x=0$. В интервале $(-3, 0)$ функция $y=e^{-x}$ больше 1 (например, при $x=-1, y=e > 1$).

Площадь фигуры:

$S = \int_{-3}^{0} (e^{-x} - 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -e^{-x} - x \right]_{-3}^{0} = (-e^0 - 0) - (-e^{-(-3)} - (-3)) = -1 - (-e^3 + 3) = -1 + e^3 - 3 = e^3 - 4$

Ответ: $e^3 - 4$

8) графиком функции $y = \frac{8}{x}$ и прямыми $x = 2, y = 2$

Найдем точки пересечения, ограничивающие фигуру. Прямая $y=2$ пересекает гиперболу $y=8/x$ в точке $2=8/x \implies x=4$. Прямая $x=2$ пересекает гиперболу в точке $y=8/2=4$. Фигура ограничена слева прямой $x=2$, справа точкой пересечения $x=4$, снизу прямой $y=2$ и сверху гиперболой $y=8/x$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{2}^{4} (\frac{8}{x} - 2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ 8\ln|x| - 2x \right]_{2}^{4} = (8\ln4 - 2 \cdot 4) - (8\ln2 - 2 \cdot 2) = (8\ln(2^2) - 8) - (8\ln2 - 4) = 16\ln2 - 8 - 8\ln2 + 4 = 8\ln2 - 4$

Ответ: $8\ln2 - 4$

9) графиком функции $y = \frac{7}{x}$ и прямыми $x = 7, y = 7$

Прямая $y=7$ пересекает гиперболу $y=7/x$ в точке $7=7/x \implies x=1$. Прямая $x=7$ пересекает гиперболу в точке $y=7/7=1$. Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=1$, справа прямой $x=7$, снизу гиперболой $y=7/x$ и сверху прямой $y=7$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{1}^{7} (7 - \frac{7}{x}) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ 7x - 7\ln|x| \right]_{1}^{7} = (7 \cdot 7 - 7\ln7) - (7 \cdot 1 - 7\ln1) = (49 - 7\ln7) - (7 - 0) = 42 - 7\ln7$

Ответ: $42 - 7\ln7$

10) графиком функции $y = \frac{4}{x}$ и прямыми $y = 3x + 1, x = 2$

Найдем точку пересечения $y=4/x$ и $y=3x+1$:

$4/x = 3x+1 \implies 4 = 3x^2+x \implies 3x^2+x-4=0$. Корни уравнения: $x_1=1, x_2=-4/3$. В контексте задачи нас интересует $x=1$. Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=1$, справа прямой $x=2$. В интервале $(1, 2)$ прямая $y=3x+1$ находится выше гиперболы $y=4/x$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{1}^{2} ((3x+1) - \frac{4}{x}) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{3x^2}{2} + x - 4\ln|x| \right]_{1}^{2} = \left( \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 - 4\ln2 \right) - \left( \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 1 - 4\ln1 \right) = (6+2-4\ln2) - (\frac{3}{2}+1) = 8 - 4\ln2 - \frac{5}{2} = \frac{11}{2} - 4\ln2$

Ответ: $\frac{11}{2} - 4\ln2$

11) графиками функций $y = x^2, y = \frac{1}{x}$ и прямой $x = 3$

Найдем точку пересечения $y=x^2$ и $y=1/x$:

$x^2 = 1/x \implies x^3 = 1 \implies x=1$.

Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=1$ и справа прямой $x=3$. В интервале $(1, 3)$ парабола $y=x^2$ находится выше гиперболы $y=1/x$ (например, при $x=2$, $y=4$ и $y=1/2$).

Площадь фигуры:

$S = \int_{1}^{3} (x^2 - \frac{1}{x}) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \ln|x| \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - \ln3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \ln1 \right) = (9 - \ln3) - (\frac{1}{3} - 0) = 9 - \frac{1}{3} - \ln3 = \frac{26}{3} - \ln3$

Ответ: $\frac{26}{3} - \ln3$