Страница 81 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = (6x + 10)^8;$

2) $f(x) = \cos 12x;$

3) $f(x) = \sin \frac{x}{14};$

4) $f(x) = \frac{3}{\cos^2 \frac{x}{16}}$ на промежутке $(-8\pi; 8\pi);$

5) $f(x) = \frac{8}{\sqrt{2x + 7}}$ на промежутке $(-3,5; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{1}{(5x - 4)^2}$ на промежутке $(0,8; +\infty);$

7) $f(x) = 7^{8x} \ln 7;$

8) $f(x) = e^{\frac{x}{4}};$

9) $f(x) = e^{10x} - 6^x;$

10) $f(x) = 4^{-2x} \ln 4 + e^{-0,3x};$

11) $f(x) = 18e^{9x-4} - 12e^{6-3x}.$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (6x + 10)^8$ воспользуемся формулой интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. В данном случае $k=6$, $b=10$ и $n=8$.
$F(x) = \int (6x+10)^8 dx = \frac{(6x+10)^{8+1}}{6 \cdot (8+1)} + C = \frac{(6x+10)^9}{6 \cdot 9} + C = \frac{(6x+10)^9}{54} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(6x+10)^9}{54} + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \cos(12x)$ воспользуемся формулой $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В данном случае $k=12$.
$F(x) = \int \cos(12x) dx = \frac{1}{12}\sin(12x) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{12}\sin(12x) + C$.

3) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \sin\frac{x}{14}$ воспользуемся формулой $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В данном случае $k = \frac{1}{14}$.
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{14}) dx = -\frac{1}{1/14}\cos(\frac{x}{14}) + C = -14\cos(\frac{x}{14}) + C$.
Ответ: $F(x) = -14\cos(\frac{x}{14}) + C$.

4) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2\frac{x}{16}}$ воспользуемся формулой $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.
$F(x) = \int \frac{3}{\cos^2(\frac{x}{16})} dx = 3 \int \frac{dx}{\cos^2(\frac{x}{16})}$. В данном случае $k = \frac{1}{16}$.
$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{1/16}\tan(\frac{x}{16}) + C = 3 \cdot 16 \tan(\frac{x}{16}) + C = 48\tan(\frac{x}{16}) + C$.
На заданном промежутке $(-8\pi; 8\pi)$ функция и ее первообразная непрерывны.
Ответ: $F(x) = 48\tan(\frac{x}{16}) + C$.

5) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{8}{\sqrt{2x+7}}$, представим ее в виде $f(x) = 8(2x+7)^{-1/2}$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. Здесь $k=2$, $b=7$ и $n = -1/2$.
$F(x) = \int 8(2x+7)^{-1/2} dx = 8 \cdot \frac{(2x+7)^{-1/2+1}}{2(-1/2+1)} + C = 8 \cdot \frac{(2x+7)^{1/2}}{2 \cdot 1/2} + C = 8\sqrt{2x+7} + C$.
Функция определена при $2x+7>0$, то есть $x > -3.5$, что соответствует заданному промежутку.
Ответ: $F(x) = 8\sqrt{2x+7} + C$.

6) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{1}{(5x-4)^2}$, представим ее в виде $f(x) = (5x-4)^{-2}$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$. Здесь $k=5$, $b=-4$ и $n = -2$.
$F(x) = \int (5x-4)^{-2} dx = \frac{(5x-4)^{-2+1}}{5(-2+1)} + C = \frac{(5x-4)^{-1}}{5(-1)} + C = -\frac{1}{5(5x-4)} + C$.
Функция определена при $5x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 0.8$, что соответствует заданному промежутку $(0.8; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5(5x-4)} + C$.

7) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 7^{8x} \ln 7$ воспользуемся формулой для интегрирования показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.
$F(x) = \int 7^{8x} \ln 7 dx = \ln 7 \int 7^{8x} dx = \ln 7 \cdot \frac{7^{8x}}{8 \ln 7} + C = \frac{7^{8x}}{8} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{7^{8x}}{8} + C$.

8) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = e^{\frac{x}{4}}$ воспользуемся формулой $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Здесь $k = \frac{1}{4}$.
$F(x) = \int e^{x/4} dx = \frac{1}{1/4}e^{x/4} + C = 4e^{x/4} + C$.
Ответ: $F(x) = 4e^{x/4} + C$.

9) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = e^{10x} - 6^x$ воспользуемся правилом, что первообразная разности функций равна разности первообразных.
$\int e^{10x} dx = \frac{1}{10}e^{10x}$.
$\int 6^x dx = \frac{6^x}{\ln 6}$.
$F(x) = \int (e^{10x} - 6^x) dx = \frac{1}{10}e^{10x} - \frac{6^x}{\ln 6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{e^{10x}}{10} - \frac{6^x}{\ln 6} + C$.

10) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 4^{-2x} \ln 4 + e^{-0.3x}$ воспользуемся правилом, что первообразная суммы функций равна сумме первообразных.
$\int 4^{-2x} \ln 4 dx = \ln 4 \int 4^{-2x} dx = \ln 4 \cdot \frac{4^{-2x}}{-2 \ln 4} + C_1 = -\frac{1}{2}4^{-2x} + C_1$.
$\int e^{-0.3x} dx = \frac{e^{-0.3x}}{-0.3} + C_2 = -\frac{10}{3}e^{-0.3x} + C_2$.
$F(x) = -\frac{1}{2}4^{-2x} - \frac{10}{3}e^{-0.3x} + C$, где $C = C_1 + C_2$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4^{-2x}}{2} - \frac{10}{3}e^{-0.3x} + C$.

11) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 18e^{9x-4} - 12e^{6-3x}$ воспользуемся правилом, что первообразная разности функций равна разности первообразных.
$\int 18e^{9x-4} dx = 18 \int e^{9x-4} dx = 18 \cdot \frac{e^{9x-4}}{9} + C_1 = 2e^{9x-4} + C_1$.
$\int 12e^{6-3x} dx = 12 \int e^{6-3x} dx = 12 \cdot \frac{e^{6-3x}}{-3} + C_2 = -4e^{6-3x} + C_2$.
$F(x) = (2e^{9x-4} + C_1) - (-4e^{6-3x} + C_2) = 2e^{9x-4} + 4e^{6-3x} + C$, где $C = C_1 - C_2$.
Ответ: $F(x) = 2e^{9x-4} + 4e^{6-3x} + C$.

78. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = 6\cos6x - \frac{1}{4}\sin\frac{x}{4}, I = (-\infty; +\infty), A(\pi; -2);$

2) $f(x) = \frac{9}{\sin^2\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)}, I = \left(-\frac{\pi}{9}; \frac{2\pi}{9}\right), B\left(\frac{\pi}{9}; 2\sqrt{3}\right);$

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}, I = (0,1; +\infty), C(5; 2);$

4) $f(x) = 12^x \ln12 + 3^x \ln3, I = (-\infty; +\infty), D(2; 150);$

5) $f(x) = 20x^4 - e^{-2x}, I = (-\infty; +\infty), M\left(-2; \frac{e^4}{2}\right);$

6) $f(x) = \frac{12}{6x + 5}, I = \left(-\frac{5}{6}; +\infty\right), K(0,5; 6\ln 2);$

7) $f(x) = e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x - 1}, I = (-\infty; 0,5), E(0; 9);$

8) $f(x) = \frac{3}{x - 6} + \frac{5}{2\sqrt{x - 3}}, I = (6; +\infty), F(7; -1).$

1) Для того чтобы найти первообразную $F$, график которой проходит через заданную точку, сначала найдём общий вид первообразных для функции $f(x)$.
$F(x) = \int (6\cos(6x) - \frac{1}{4}\sin\frac{x}{4}) dx = 6\int \cos(6x)dx - \frac{1}{4}\int \sin\frac{x}{4}dx = 6 \cdot \frac{1}{6}\sin(6x) - \frac{1}{4} \cdot (-4\cos\frac{x}{4}) + C = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} + C$.
Теперь используем условие, что график проходит через точку $A(\pi; -2)$, то есть $F(\pi) = -2$.
$\sin(6\pi) + \cos\frac{\pi}{4} + C = -2$
$0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + C = -2$
$C = -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $F(x) = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{9}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})}$.
$F(x) = \int \frac{9}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})} dx = 9 \int \frac{1}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})} dx = 9 \cdot (-\frac{1}{3}\cot(3x+\frac{\pi}{3})) + C = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $B(\frac{\pi}{9}; 2\sqrt{3})$, то есть $F(\frac{\pi}{9}) = 2\sqrt{3}$.
$-3\cot(3 \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3\cot(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3\cot(\frac{2\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) + C = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} + C = 2\sqrt{3}$
$C = \sqrt{3}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$.
Ответ: $F(x) = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$.

3) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x-1}}$.
$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{10x-1}} dx = \int (10x-1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{10}\frac{(10x-1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $C(5; 2)$, то есть $F(5) = 2$.
$\frac{1}{5}\sqrt{10 \cdot 5 - 1} + C = 2$
$\frac{1}{5}\sqrt{49} + C = 2$
$\frac{7}{5} + C = 2$
$C = 2 - \frac{7}{5} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + \frac{3}{5}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + \frac{3}{5}$.

4) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = 12^x\ln 12 + 3^x\ln 3$.
$F(x) = \int (12^x\ln 12 + 3^x\ln 3) dx = 12^x + 3^x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $D(2; 150)$, то есть $F(2) = 150$.
$12^2 + 3^2 + C = 150$
$144 + 9 + C = 150$
$153 + C = 150$
$C = -3$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 12^x + 3^x - 3$.
Ответ: $F(x) = 12^x + 3^x - 3$.

5) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = 20x^4 - e^{-2x}$.
$F(x) = \int (20x^4 - e^{-2x}) dx = 20\frac{x^5}{5} - \frac{e^{-2x}}{-2} + C = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(-2; \frac{e^4}{2})$, то есть $F(-2) = \frac{e^4}{2}$.
$4(-2)^5 + \frac{1}{2}e^{-2(-2)} + C = \frac{e^4}{2}$
$4(-32) + \frac{1}{2}e^4 + C = \frac{e^4}{2}$
$-128 + \frac{e^4}{2} + C = \frac{e^4}{2}$
$C = 128$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + 128$.
Ответ: $F(x) = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + 128$.

6) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{12}{6x+5}$.
$F(x) = \int \frac{12}{6x+5} dx = 12 \cdot \frac{1}{6}\ln|6x+5| + C = 2\ln|6x+5| + C$.
На интервале $I = (-\frac{5}{6}; +\infty)$, выражение $6x+5 > 0$, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = 2\ln(6x+5) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $K(0.5; 6\ln 2)$, то есть $F(0.5) = 6\ln 2$.
$2\ln(6 \cdot 0.5 + 5) + C = 6\ln 2$
$2\ln(3 + 5) + C = 6\ln 2$
$2\ln(8) + C = 6\ln 2$
$2\ln(2^3) + C = 6\ln 2$
$6\ln 2 + C = 6\ln 2$
$C = 0$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2\ln(6x+5)$.
Ответ: $F(x) = 2\ln(6x+5)$.

7) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x-1}$.
$F(x) = \int (e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x-1}) dx = \frac{e^{\frac{x}{6}}}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$.
На интервале $I = (-\infty; 0.5)$, выражение $2x-1 < 0$, поэтому $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$. Следовательно, $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $E(0; 9)$, то есть $F(0) = 9$.
$6e^{\frac{0}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2 \cdot 0) + C = 9$
$6e^0 + \frac{1}{2}\ln(1) + C = 9$
$6 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + C = 9$
$6 + C = 9$
$C = 3$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.
Ответ: $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

8) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{3}{x-6} + \frac{5}{2\sqrt{x-3}}$.
$F(x) = \int (\frac{3}{x-6} + \frac{5}{2\sqrt{x-3}}) dx = 3\int \frac{dx}{x-6} + 5\int \frac{dx}{2\sqrt{x-3}} = 3\ln|x-6| + 5\sqrt{x-3} + C$.
На интервале $I = (6; +\infty)$, выражение $x-6 > 0$, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $F(7; -1)$, то есть $F(7) = -1$.
$3\ln(7-6) + 5\sqrt{7-3} + C = -1$
$3\ln(1) + 5\sqrt{4} + C = -1$
$3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 + C = -1$
$10 + C = -1$
$C = -11$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} - 11$.
Ответ: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} - 11$.