Страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если $f(x) = 2.5x^2 - 4x$, $g(x) = \ln(-4x)$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Дана функция $f(x) = 2,5x^2 - 4x$. Ее производная находится по правилам дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (2,5x^2 - 4x)' = 2,5 \cdot 2x - 4 = 5x - 4$.

Дана функция $g(x) = \ln(-4x)$. Ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции:

$g'(x) = (\ln(-4x))' = \frac{1}{-4x} \cdot (-4x)' = \frac{1}{-4x} \cdot (-4) = \frac{1}{x}$.

Далее, определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $g(x) = \ln(-4x)$ определена, когда ее аргумент строго положителен: $-4x > 0$. Отсюда следует, что $x < 0$. Производная $g'(x) = \frac{1}{x}$ не определена при $x=0$, что согласуется с найденным ОДЗ. Таким образом, все решения неравенства должны удовлетворять условию $x < 0$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) \geq g'(x)$:

$5x - 4 \geq \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$5x - 4 - \frac{1}{x} \geq 0$

$\frac{5x^2 - 4x - 1}{x} \geq 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 6}{10}$.

$x_1 = \frac{4 - 6}{10} = \frac{-2}{10} = -0,2$.

$x_2 = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки -0,2, 0 и 1 на числовой оси. Они разбивают ось на интервалы. Определим знак дроби $\frac{5x^2 - 4x - 1}{x}$ на каждом из них.

На интервале $(-\infty; -0,2)$ дробь отрицательна.

На интервале $(-0,2; 0)$ дробь положительна.

На интервале $(0; 1)$ дробь отрицательна.

На интервале $(1; +\infty)$ дробь положительна.

Неравенство $\frac{5x^2 - 4x - 1}{x} \geq 0$ выполняется, когда дробь положительна или равна нулю. Учитывая, что нули числителя $x = -0,2$ и $x = 1$ включаются в решение, а нуль знаменателя $x = 0$ исключается, получаем: $x \in [-0,2; 0) \cup [1; +\infty)$.

На последнем шаге сопоставим полученное решение с ОДЗ ($x < 0$).

Пересечение множеств $[-0,2; 0) \cup [1; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$ дает итоговый результат: $x \in [-0,2; 0)$.

Ответ: $x \in [-0,2; 0)$.

60. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^3 \ln(x^2 + 3x - 27)$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^3 \ln(x^2 + 3x - 27)$.

Найдем её производную $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln(x^2 + 3x - 27)$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

Производная $u(x)$: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции, а именно производную натурального логарифма: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$. В нашем случае $g(x) = x^2 + 3x - 27$, и её производная $g'(x) = 2x + 3$.

Таким образом, производная $v(x)$ равна:

$v'(x) = (\ln(x^2 + 3x - 27))' = \frac{(x^2 + 3x - 27)'}{x^2 + 3x - 27} = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 27}$.

Теперь, используя правило произведения, найдем производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3x^2 \ln(x^2 + 3x - 27) + x^3 \cdot \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 27}$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 \cdot \ln(4^2 + 3 \cdot 4 - 27) + 4^3 \cdot \frac{2 \cdot 4 + 3}{4^2 + 3 \cdot 4 - 27}$.

Выполним вычисления по частям:

$4^2 = 16$.

$4^3 = 64$.

Аргумент логарифма и знаменатель дроби: $4^2 + 3 \cdot 4 - 27 = 16 + 12 - 27 = 28 - 27 = 1$.

Числитель дроби: $2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Подставим полученные значения в выражение для $f'(4)$:

$f'(4) = 3 \cdot 16 \cdot \ln(1) + 64 \cdot \frac{11}{1} = 48 \cdot \ln(1) + 64 \cdot 11$.

Поскольку $\ln(1) = 0$, первое слагаемое обращается в ноль:

$f'(4) = 48 \cdot 0 + 704 = 0 + 704 = 704$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 704.

Ответ: 704

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x e^{3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{x^2-x-1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$;

3) $f(x) = 6^{4x-3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

4) $f(x) = \ln(3x-8)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$;

5) $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) $f(x) = xe^{3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(0) = 0 \cdot e^{3 \cdot 0} = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x)'e^{3x} + x(e^{3x})' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot (3e^{3x}) = e^{3x}(1 + 3x)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(0) = e^{3 \cdot 0}(1 + 3 \cdot 0) = e^0(1) = 1$.
4. Подставляем найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1(x - 0) \implies y = x$.
Ответ: $y = x$.

2) $f(x) = e^{x^2-x-1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(2) = e^{2^2-2-1} = e^{4-3} = e^1 = e$.
2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{x^2-x-1})' = e^{x^2-x-1} \cdot (x^2-x-1)' = e^{x^2-x-1} \cdot (2x-1)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(2) = e^{2^2-2-1} \cdot (2 \cdot 2 - 1) = e^1 \cdot (4-1) = 3e$.
4. Подставляем найденные значения $f(2)=e$ и $f'(2)=3e$ в уравнение касательной:
$y = e + 3e(x - 2) = e + 3ex - 6e = 3ex - 5e$.
Ответ: $y = 3ex - 5e$.

3) $f(x) = 6^{4x-3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 6^{4 \cdot 1-3} = 6^{1} = 6$.
2. Находим производную функции, используя формулу $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:
$f'(x) = (6^{4x-3})' = 6^{4x-3} \cdot \ln(6) \cdot (4x-3)' = 6^{4x-3} \cdot \ln(6) \cdot 4 = 4 \ln(6) \cdot 6^{4x-3}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = 4 \ln(6) \cdot 6^{4 \cdot 1 - 3} = 4 \ln(6) \cdot 6^1 = 24 \ln(6)$.
4. Подставляем найденные значения $f(1)=6$ и $f'(1)=24 \ln(6)$ в уравнение касательной:
$y = 6 + 24 \ln(6)(x - 1) = 6 + 24x\ln(6) - 24\ln(6)$.
Ответ: $y = 24x\ln(6) + 6 - 24\ln(6)$.

4) $f(x) = \ln(3x - 8)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(3) = \ln(3 \cdot 3 - 8) = \ln(9 - 8) = \ln(1) = 0$.
2. Находим производную функции, используя формулу $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:
$f'(x) = (\ln(3x - 8))' = \frac{1}{3x - 8} \cdot (3x-8)' = \frac{3}{3x - 8}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(3) = \frac{3}{3 \cdot 3 - 8} = \frac{3}{9 - 8} = 3$.
4. Подставляем найденные значения $f(3)=0$ и $f'(3)=3$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 3(x - 3) = 3x - 9$.
Ответ: $y = 3x - 9$.

5) $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.
1. Сначала найдем абсциссу точки касания $x_0$. Точка пересечения с осью абсцисс — это точка, где $f(x) = 0$.
$\ln(x_0^2 - 2x_0 + 2) = 0$.
По определению логарифма:
$x_0^2 - 2x_0 + 2 = e^0 = 1$.
$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$.
$(x_0 - 1)^2 = 0$.
$x_0 = 1$.
Таким образом, $f(x_0) = f(1) = 0$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln(x^2 - 2x + 2))' = \frac{1}{x^2 - 2x + 2} \cdot (x^2 - 2x + 2)' = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2 \cdot 1 - 2}{1^2 - 2 \cdot 1 + 2} = \frac{0}{1} = 0$.
4. Подставляем найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=0$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 0(x - 1) = 0$.
Ответ: $y = 0$.

62. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x) = \ln (4 - 5x)$, в которой касательная к нему наклонена к оси абсцисс под углом $\alpha = 135^{\circ}$.

Значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угловому коэффициенту касательной) к оси абсцисс.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$ касательной. По условию, угол наклона касательной $\alpha = 135^{\circ}$. Угловой коэффициент равен тангенсу этого угла:
$k = \tan(\alpha) = \tan(135^{\circ}) = -1$.

Теперь найдем производную функции $f(x) = \ln(4-5x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\ln(4-5x))' = \frac{1}{4-5x} \cdot (4-5x)' = \frac{1}{4-5x} \cdot (-5) = \frac{-5}{4-5x}$.

Чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки, приравняем значение производной в этой точке к найденному угловому коэффициенту $k$:
$f'(x_0) = k$
$\frac{-5}{4-5x_0} = -1$.

Решим это уравнение относительно $x_0$:
$5 = 1 \cdot (4-5x_0)$
$5 = 4-5x_0$
$5x_0 = 4-5$
$5x_0 = -1$
$x_0 = -\frac{1}{5} = -0.2$.

Найденная абсцисса $x_0 = -0.2$ принадлежит области определения функции, так как $4 - 5(-0.2) = 4 + 1 = 5 > 0$.

Ответ: $-0.2$.

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$, которая параллельна прямой $y = ex + 6$;

2) $f(x) = e^{2x-4}$, которая параллельна прямой $y = 2x - 7$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Угловой коэффициент прямой $y = ex + 6$ равен $e$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен $e$. Таким образом, нам нужно найти точку $x_0$, для которой выполняется условие $f'(x_0) = e$.
Сначала найдем производную функции $f(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$:
$f'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$.
Теперь приравняем производную к заданному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = e^{\frac{x_0}{3}} = e$.
Так как $e = e^1$, получаем уравнение:
$e^{\frac{x_0}{3}} = e^1$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$\frac{x_0}{3} = 1 \implies x_0 = 3$.
Теперь найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 3$:
$f(x_0) = f(3) = 3e^{\frac{3}{3}} = 3e^1 = 3e$.
Точка касания имеет координаты $(3, 3e)$.
Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 3e$ и $f'(x_0) = e$ в уравнение касательной:
$y = 3e + e(x - 3)$
$y = 3e + ex - 3e$
$y = ex$.
Ответ: $y = ex$.

2) Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{2x-4}$, которая параллельна прямой $y = 2x - 7$.
Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 7$ равен $2$. Значит, угловой коэффициент касательной $f'(x_0)$ также должен быть равен $2$.
Найдем производную функции $f(x) = e^{2x-4}$:
$f'(x) = (e^{2x-4})' = e^{2x-4} \cdot (2x-4)' = e^{2x-4} \cdot 2 = 2e^{2x-4}$.
Приравняем производную к угловому коэффициенту $2$:
$f'(x_0) = 2e^{2x_0-4} = 2$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$e^{2x_0-4} = 1$.
Так как $1 = e^0$, получаем уравнение:
$e^{2x_0-4} = e^0$.
Приравнивая показатели степени, получаем:
$2x_0 - 4 = 0 \implies 2x_0 = 4 \implies x_0 = 2$.
Найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = e^{2 \cdot 2 - 4} = e^{4-4} = e^0 = 1$.
Точка касания имеет координаты $(2, 1)$.
Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = 2$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 2(x - 2)$
$y = 1 + 2x - 4$
$y = 2x - 3$.
Ответ: $y = 2x - 3$.

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (7^x + 1)(7^x - 15)$.

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, чтобы найти точку, в которой касательная горизонтальна, нужно найти корень уравнения $f'(x) = 0$.

1. Сначала упростим вид функции $f(x)$, раскрыв скобки:$f(x) = (7^x + 1)(7^x - 15) = (7^x)^2 - 15 \cdot 7^x + 1 \cdot 7^x - 15 = 7^{2x} - 14 \cdot 7^x - 15$.

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:$f'(x) = (7^{2x} - 14 \cdot 7^x - 15)' = (7^{2x})' - (14 \cdot 7^x)' - (15)'$$f'(x) = 7^{2x} \cdot \ln(7) \cdot (2x)' - 14 \cdot 7^x \cdot \ln(7) - 0$$f'(x) = 2 \cdot 7^{2x} \ln(7) - 14 \cdot 7^x \ln(7)$.

3. Приравняем производную к нулю и найдем абсциссу точки касания:$2 \cdot 7^{2x} \ln(7) - 14 \cdot 7^x \ln(7) = 0$. Вынесем за скобки общий множитель $2 \cdot 7^x \ln(7)$:$2 \cdot 7^x \ln(7) (7^x - 7) = 0$. Поскольку $7^x > 0$ и $\ln(7) \neq 0$, то множитель $2 \cdot 7^x \ln(7)$ не равен нулю. Следовательно, нулю должна быть равна скобка:$7^x - 7 = 0$$7^x = 7^1$$x = 1$.

4. Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная горизонтальна. Теперь найдем ординату этой точки, подставив $x = 1$ в исходное уравнение функции:$y = f(1) = (7^1 + 1)(7^1 - 15) = (7 + 1)(7 - 15) = 8 \cdot (-8) = -64$.

5. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. В данном случае прямая проходит через точку с ординатой $-64$, значит, ее уравнение $y = -64$.

Ответ: $y = -64$.

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3xe - e^{3x};$

2) $f(x) = e^{x^2-10x+5};$

3) $f(x) = e^{x^5};$

4) $f(x) = (4x + 6)e^{2x};$

5) $f(x) = (5 - x)e^{5-x};$

6) $f(x) = x^3e^{-\frac{x}{4}};$

7) $f(x) = (x^2 + 3x - 9)e^{x-4};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{x+2};$

9) $f(x) = 3x - x \ln x;$

10) $f(x) = x^2 \ln x;$

11) $f(x) = x^4 \lg x;$

12) $f(x) = \frac{x^3}{\ln x}.$

1) $f(x) = 3xe - e^{3x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (3xe - e^{3x})' = 3e \cdot 1 - e^{3x} \cdot 3 = 3(e - e^{3x})$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3(e - e^{3x}) = 0 \implies e = e^{3x} \implies 1 = 3x \implies x = \frac{1}{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой:
- При $x < \frac{1}{3}$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x > \frac{1}{3}$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = \frac{1}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{3}]$; убывает на промежутке $[\frac{1}{3}, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = \frac{1}{3}$.

2) $f(x) = e^{x^2-10x+5}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (e^{x^2-10x+5})' = e^{x^2-10x+5} \cdot (x^2-10x+5)' = (2x-10)e^{x^2-10x+5}$.

3. Найдем критические точки: $(2x-10)e^{x^2-10x+5} = 0$. Так как $e^{x^2-10x+5} > 0$ всегда, то $2x-10=0 \implies x=5$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < 5$, $2x-10 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 5$, $2x-10 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=5$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 5]$; возрастает на промежутке $[5, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 5$.

3) $f(x) = e^{x^5}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (e^{x^5})' = e^{x^5} \cdot (x^5)' = 5x^4e^{x^5}$.

3. Найдем критические точки: $5x^4e^{x^5} = 0$. Так как $e^{x^5} > 0$, то $5x^4=0 \implies x=0$.

4. Так как $x^4 \ge 0$ и $e^{x^5} > 0$, то $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

5. Точек экстремума нет, так как производная не меняет знак.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; точек экстремума нет.

4) $f(x) = (4x+6)e^{2x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную по правилу произведения: $f'(x) = (4x+6)'e^{2x} + (4x+6)(e^{2x})' = 4e^{2x} + (4x+6) \cdot 2e^{2x} = (4 + 8x + 12)e^{2x} = (8x+16)e^{2x}$.

3. Найдем критические точки: $(8x+16)e^{2x} = 0$. Так как $e^{2x} > 0$, то $8x+16=0 \implies x=-2$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < -2$, $8x+16 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > -2$, $8x+16 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-2$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = -2$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$; возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -2$.

5) $f(x) = (5-x)e^{5-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (5-x)'e^{5-x} + (5-x)(e^{5-x})' = -1 \cdot e^{5-x} + (5-x) \cdot (-1)e^{5-x} = (-1 - 5 + x)e^{5-x} = (x-6)e^{5-x}$.

3. Найдем критические точки: $(x-6)e^{5-x} = 0$. Так как $e^{5-x} > 0$, то $x-6=0 \implies x=6$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < 6$, $x-6 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 6$, $x-6 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=6$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 6$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 6]$; возрастает на промежутке $[6, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 6$.

6) $f(x) = x^3e^{-x/4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^3)'e^{-x/4} + x^3(e^{-x/4})' = 3x^2e^{-x/4} + x^3 \cdot (-\frac{1}{4})e^{-x/4} = x^2e^{-x/4}(3-\frac{x}{4})$.

3. Найдем критические точки: $x^2e^{-x/4}(3-\frac{x}{4}) = 0$. Отсюда $x^2=0 \implies x=0$ или $3-\frac{x}{4}=0 \implies x=12$.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $3-\frac{x}{4}$, так как $x^2e^{-x/4} \ge 0$.
- При $x < 12$ (и $x \ne 0$), $3-\frac{x}{4} > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x > 12$, $3-\frac{x}{4} < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума. В точке $x=12$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = 12$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 12]$; убывает на промежутке $[12, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 12$.

7) $f(x) = (x^2+3x-9)e^{x-4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (2x+3)e^{x-4} + (x^2+3x-9)e^{x-4} = (x^2+5x-6)e^{x-4}$.

3. Найдем критические точки: $(x^2+5x-6)e^{x-4}=0$. Решаем квадратное уравнение $x^2+5x-6=0$, корни которого $x_1=-6, x_2=1$.

4. Определим знаки производной (знак совпадает со знаком $x^2+5x-6$):
- При $x \in (-\infty, -6)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-6, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-6$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума ($x_{max}=-6$). В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума ($x_{min}=1$).

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -6]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $[-6, 1]$; точка максимума $x_{max}=-6$, точка минимума $x_{min}=1$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{x+2}$

1. Область определения функции: $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

2. Найдем производную по правилу частного: $f'(x) = \frac{(e^x)'(x+2) - e^x(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+2) - e^x}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x)=0$ при $e^x(x+1)=0 \implies x=-1$. Производная не определена при $x=-2$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $x+1$):
- При $x \in (-\infty, -2)$, $x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2, -1)$, $x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, +\infty)$, $x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, -1]$; возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=-1$.

9) $f(x) = 3x - x\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = 3 - (x' \ln x + x (\ln x)') = 3 - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = 3 - (\ln x + 1) = 2 - \ln x$.

3. Найдем критические точки: $2 - \ln x = 0 \implies \ln x = 2 \implies x = e^2$.

4. Определим знаки производной:
- При $x \in (0, e^2)$, $\ln x < 2 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (e^2, +\infty)$, $\ln x > 2 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=e^2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = e^2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, e^2]$; убывает на промежутке $[e^2, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = e^2$.

10) $f(x) = x^2\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^2)'\ln x + x^2(\ln x)' = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

3. Найдем критические точки: $x(2\ln x + 1) = 0$. Так как $x>0$, то $2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $2\ln x + 1$):
- При $x \in (0, e^{-1/2})$, $\ln x < -\frac{1}{2} \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/2}, +\infty)$, $\ln x > -\frac{1}{2} \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{-1/2}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{-1/2}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/2}]$; возрастает на промежутке $[e^{-1/2}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{-1/2}$.

11) $f(x) = x^4\lg x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^4)'\lg x + x^4(\lg x)' = 4x^3\lg x + x^4 \frac{1}{x\ln 10} = 4x^3\frac{\ln x}{\ln 10} + \frac{x^3}{\ln 10} = \frac{x^3}{\ln 10}(4\ln x + 1)$.

3. Найдем критические точки: $\frac{x^3}{\ln 10}(4\ln x + 1) = 0$. Так как $\frac{x^3}{\ln 10} > 0$ на области определения, то $4\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{4} \implies x = e^{-1/4}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $4\ln x + 1$):
- При $x \in (0, e^{-1/4})$, $\ln x < -\frac{1}{4} \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/4}, +\infty)$, $\ln x > -\frac{1}{4} \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{-1/4}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{-1/4}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/4}]$; возрастает на промежутке $[e^{-1/4}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{-1/4}$.

12) $f(x) = \frac{x^3}{\ln x}$

1. Область определения функции: $x>0$ и $\ln x \ne 0 \implies x \ne 1$. $D(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = \frac{(x^3)'\ln x - x^3(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{3x^2\ln x - x^3 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{3x^2\ln x - x^2}{(\ln x)^2} = \frac{x^2(3\ln x - 1)}{(\ln x)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x)=0 \implies x^2(3\ln x - 1) = 0$. Так как $x>0$, то $3\ln x - 1 = 0 \implies \ln x = \frac{1}{3} \implies x = e^{1/3}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $3\ln x - 1$):
- При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0 \implies 3\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, e^{1/3})$, $0 < \ln x < \frac{1}{3} \implies 3\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{1/3}, +\infty)$, $\ln x > \frac{1}{3} \implies 3\ln x - 1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{1/3}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{1/3}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(0, 1)$ и $(1, e^{1/3}]$; возрастает на промежутке $[e^{1/3}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{1/3}$.

66. Найдите наименьшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{12x-x^2-39}$;

2) $f(x) = \log_4(x^2 + 2x + 17) - 2.$

1) f(x) = $(\frac{1}{5})^{12x-x^2-39}$

Чтобы найти наименьшее значение показательной функции $f(x) = a^{g(x)}$, нужно проанализировать ее основание $a$ и показатель степени $g(x)$.
В данном случае основание $a = \frac{1}{5}$, и $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ достигается при наибольшем значении показателя степени $g(x) = 12x - x^2 - 39$.
Найдем наибольшее значение квадратного трехчлена $g(x) = -x^2 + 12x - 39$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), следовательно, она имеет точку максимума в своей вершине.
Координата вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для $g(x) = -x^2 + 12x - 39$, имеем $a=-1$, $b=12$.
$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6$.
Теперь найдем максимальное значение показателя, подставив $x_0 = 6$ в $g(x)$:
$g_{max} = g(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 - 39 = -36 + 72 - 39 = 36 - 39 = -3$.
Наибольшее значение показателя степени равно -3.
Теперь вычислим наименьшее значение исходной функции $f(x)$, подставив $g_{max}$ в качестве показателя:
$f_{min} = (\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.

Ответ: 125.

2) f(x) = $\log_4(x^2 + 2x + 17) - 2$

Чтобы найти наименьшее значение логарифмической функции $f(x) = \log_b(h(x)) + C$, нужно проанализировать ее основание $b$ и выражение под знаком логарифма $h(x)$.
В данном случае основание $b = 4$, и $b > 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ достигается при наименьшем значении выражения под знаком логарифма $h(x) = x^2 + 2x + 17$.
Найдем наименьшее значение квадратного трехчлена $h(x) = x^2 + 2x + 17$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), следовательно, она имеет точку минимума в своей вершине.
Координата вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для $h(x) = x^2 + 2x + 17$, имеем $a=1$, $b=2$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Теперь найдем минимальное значение выражения под логарифмом, подставив $x_0 = -1$ в $h(x)$:
$h_{min} = h(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 17 = 1 - 2 + 17 = 16$.
Так как $16 > 0$, значение находится в области определения логарифма.
Теперь вычислим наименьшее значение исходной функции $f(x)$, подставив $h_{min}$ под знак логарифма:
$f_{min} = \log_4(16) - 2 = \log_4(4^2) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Ответ: 0.