Номер 60, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^3 \ln(x^2 + 3x - 27)$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^3 \ln(x^2 + 3x - 27)$.

Найдем её производную $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln(x^2 + 3x - 27)$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

Производная $u(x)$: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции, а именно производную натурального логарифма: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$. В нашем случае $g(x) = x^2 + 3x - 27$, и её производная $g'(x) = 2x + 3$.

Таким образом, производная $v(x)$ равна:

$v'(x) = (\ln(x^2 + 3x - 27))' = \frac{(x^2 + 3x - 27)'}{x^2 + 3x - 27} = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 27}$.

Теперь, используя правило произведения, найдем производную исходной функции $f(x)$:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 3x^2 \ln(x^2 + 3x - 27) + x^3 \cdot \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 27}$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 \cdot \ln(4^2 + 3 \cdot 4 - 27) + 4^3 \cdot \frac{2 \cdot 4 + 3}{4^2 + 3 \cdot 4 - 27}$.

Выполним вычисления по частям:

$4^2 = 16$.

$4^3 = 64$.

Аргумент логарифма и знаменатель дроби: $4^2 + 3 \cdot 4 - 27 = 16 + 12 - 27 = 28 - 27 = 1$.

Числитель дроби: $2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Подставим полученные значения в выражение для $f'(4)$:

$f'(4) = 3 \cdot 16 \cdot \ln(1) + 64 \cdot \frac{11}{1} = 48 \cdot \ln(1) + 64 \cdot 11$.

Поскольку $\ln(1) = 0$, первое слагаемое обращается в ноль:

$f'(4) = 48 \cdot 0 + 704 = 0 + 704 = 704$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 704.

Ответ: 704