Номер 61, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x e^{3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$;

2) $f(x) = e^{x^2-x-1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$;

3) $f(x) = 6^{4x-3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

4) $f(x) = \ln(3x-8)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$;

5) $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) $f(x) = xe^{3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(0) = 0 \cdot e^{3 \cdot 0} = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.
2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x)'e^{3x} + x(e^{3x})' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot (3e^{3x}) = e^{3x}(1 + 3x)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(0) = e^{3 \cdot 0}(1 + 3 \cdot 0) = e^0(1) = 1$.
4. Подставляем найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1(x - 0) \implies y = x$.
Ответ: $y = x$.

2) $f(x) = e^{x^2-x-1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(2) = e^{2^2-2-1} = e^{4-3} = e^1 = e$.
2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{x^2-x-1})' = e^{x^2-x-1} \cdot (x^2-x-1)' = e^{x^2-x-1} \cdot (2x-1)$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(2) = e^{2^2-2-1} \cdot (2 \cdot 2 - 1) = e^1 \cdot (4-1) = 3e$.
4. Подставляем найденные значения $f(2)=e$ и $f'(2)=3e$ в уравнение касательной:
$y = e + 3e(x - 2) = e + 3ex - 6e = 3ex - 5e$.
Ответ: $y = 3ex - 5e$.

3) $f(x) = 6^{4x-3}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 6^{4 \cdot 1-3} = 6^{1} = 6$.
2. Находим производную функции, используя формулу $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:
$f'(x) = (6^{4x-3})' = 6^{4x-3} \cdot \ln(6) \cdot (4x-3)' = 6^{4x-3} \cdot \ln(6) \cdot 4 = 4 \ln(6) \cdot 6^{4x-3}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = 4 \ln(6) \cdot 6^{4 \cdot 1 - 3} = 4 \ln(6) \cdot 6^1 = 24 \ln(6)$.
4. Подставляем найденные значения $f(1)=6$ и $f'(1)=24 \ln(6)$ в уравнение касательной:
$y = 6 + 24 \ln(6)(x - 1) = 6 + 24x\ln(6) - 24\ln(6)$.
Ответ: $y = 24x\ln(6) + 6 - 24\ln(6)$.

4) $f(x) = \ln(3x - 8)$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$.
1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(3) = \ln(3 \cdot 3 - 8) = \ln(9 - 8) = \ln(1) = 0$.
2. Находим производную функции, используя формулу $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:
$f'(x) = (\ln(3x - 8))' = \frac{1}{3x - 8} \cdot (3x-8)' = \frac{3}{3x - 8}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0$:
$f'(3) = \frac{3}{3 \cdot 3 - 8} = \frac{3}{9 - 8} = 3$.
4. Подставляем найденные значения $f(3)=0$ и $f'(3)=3$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 3(x - 3) = 3x - 9$.
Ответ: $y = 3x - 9$.

5) $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.
1. Сначала найдем абсциссу точки касания $x_0$. Точка пересечения с осью абсцисс — это точка, где $f(x) = 0$.
$\ln(x_0^2 - 2x_0 + 2) = 0$.
По определению логарифма:
$x_0^2 - 2x_0 + 2 = e^0 = 1$.
$x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0$.
$(x_0 - 1)^2 = 0$.
$x_0 = 1$.
Таким образом, $f(x_0) = f(1) = 0$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\ln(x^2 - 2x + 2))' = \frac{1}{x^2 - 2x + 2} \cdot (x^2 - 2x + 2)' = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$.
3. Находим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2 \cdot 1 - 2}{1^2 - 2 \cdot 1 + 2} = \frac{0}{1} = 0$.
4. Подставляем найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=0$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 0(x - 1) = 0$.
Ответ: $y = 0$.