Номер 68, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^2e^{-x}$;

2) $f(x) = 4\ln x - x^4$;

3) $f(x) = \frac{\ln x - 2}{x}$;

4) $f(x) = \log_3(-x^2 - 6x)$.

1) $f(x) = x^2e^{-x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных значений $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность. $f(-x) = (-x)^2e^{-(-x)} = x^2e^x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: $x=0$, $f(0) = 0^2e^0 = 0$. Точка (0, 0).
С осью OX: $f(x)=0$, $x^2e^{-x} = 0$. Так как $e^{-x} > 0$ для любого $x$, то $x^2=0$, откуда $x=0$. Точка (0, 0).
График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Горизонтальные асимптоты:
$\lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (по правилу Лопиталя, так как экспонента растет быстрее любой степенной функции). Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} x^2e^{-x} = \lim_{t \to +\infty} (-t)^2e^t = \lim_{t \to +\infty} t^2e^t = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to -\infty$ нет.
Наклонных асимптот при $x \to -\infty$ также нет, так как $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^2e^{-x})' = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2-x)$.
Приравняем производную к нулю: $xe^{-x}(2-x)=0$. Критические точки: $x=0$ и $x=2$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f_{min} = f(0) = 0$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f_{max} = f(2) = 2^2e^{-2} = 4e^{-2} \approx 0.54$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (2xe^{-x} - x^2e^{-x})' = (2e^{-x} - 2xe^{-x}) - (2xe^{-x} - x^2e^{-x}) = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $(x^2 - 4x + 2)e^{-x}=0 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$.
Решая квадратное уравнение, получаем $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. Точки возможного перегиба: $x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0.59$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (-\infty, 2-\sqrt{2})$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
- При $x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
- При $x \in (2+\sqrt{2}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
Так как в точках $x=2 \pm \sqrt{2}$ вторая производная меняет знак, это точки перегиба.

7. Построение графика. На основе полученных данных строим график. Функция начинается от $+\infty$ слева, убывает до точки минимума (0,0), затем возрастает до точки максимума $(2, 4e^{-2})$, после чего убывает, асимптотически приближаясь к оси OX. Точки перегиба находятся при $x=2-\sqrt{2}$ и $x=2+\sqrt{2}$.
Ответ: Исследование проведено. Функция имеет локальный минимум в точке (0, 0) и локальный максимум в точке $(2, 4e^{-2})$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$. Точки перегиба при $x=2 \pm \sqrt{2}$.

2) $f(x) = 4\ln x - x^4$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x>0$. $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность. Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
С осью OX: $f(x)=0 \Rightarrow 4\ln x - x^4 = 0$. Как будет показано далее, максимальное значение функции отрицательно, поэтому пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $\lim_{x \to 0^+} (4\ln x - x^4) = -\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные и наклонные асимптоты: $\lim_{x \to +\infty} (4\ln x - x^4) = \lim_{x \to +\infty} x^4(\frac{4\ln x}{x^4} - 1) = -\infty$, так как $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^4} = 0$. Асимптот при $x \to +\infty$ нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (4\ln x - x^4)' = \frac{4}{x} - 4x^3 = \frac{4(1-x^4)}{x}$.
Приравняем производную к нулю: $\frac{4(1-x^4)}{x} = 0$. Учитывая $x>0$, получаем $1-x^4=0$, откуда $x=1$.
Исследуем знак производной:
- При $x \in (0, 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка глобального максимума.
$f_{max} = f(1) = 4\ln(1) - 1^4 = 0 - 1 = -1$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (\frac{4}{x} - 4x^3)' = -\frac{4}{x^2} - 12x^2 = -4(\frac{1}{x^2} + 12x^2)$.
В области определения $x>0$, поэтому $x^2 > 0$ и $\frac{1}{x^2} > 0$. Таким образом, $f''(x) < 0$ для всех $x \in D(f)$.
Это означает, что график функции всегда выпуклый вверх (выпуклый). Точек перегиба нет.

7. Построение графика. График функции начинается от $-\infty$ у вертикальной асимптоты $x=0$, возрастает до точки максимума $(1, -1)$, а затем убывает до $-\infty$ при $x \to +\infty$. Весь график лежит ниже оси OX.
Ответ: Исследование проведено. Функция имеет глобальный максимум в точке $(1, -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$. Функция возрастает на $(0, 1)$ и убывает на $(1, +\infty)$, всегда выпукла вверх. Пересечений с осями координат нет.

3) $f(x) = \frac{\ln x - 2}{x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения. $x > 0$ из-за логарифма и $x \neq 0$ из-за знаменателя. Итого, $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность. Область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: пересечения нет ($x=0$ не в $D(f)$).
С осью OX: $f(x)=0 \Rightarrow \frac{\ln x - 2}{x} = 0 \Rightarrow \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^2$. Точка пересечения $(e^2, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x - 2}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$. Прямая $x=0$ — вертикальная асимптота.
Горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x - 2}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x - 2)'}{x'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$ (по правилу Лопиталя). Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{(1/x) \cdot x - (\ln x - 2) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x + 2}{x^2} = \frac{3 - \ln x}{x^2}$.
Приравняем производную к нулю: $3 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 3 \Rightarrow x = e^3$.
Исследуем знак производной:
- При $x \in (0, e^3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (e^3, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=e^3$ — точка глобального максимума. $f_{max} = f(e^3) = \frac{\ln(e^3) - 2}{e^3} = \frac{3-2}{e^3} = \frac{1}{e^3} \approx 0.05$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = \left(\frac{3 - \ln x}{x^2}\right)' = \frac{(-1/x)x^2 - (3-\ln x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 6x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2x\ln x - 7x}{x^4} = \frac{2\ln x - 7}{x^3}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $2\ln x - 7 = 0 \Rightarrow \ln x = 3.5 \Rightarrow x = e^{3.5}$.
Исследуем знак второй производной:
- При $x \in (0, e^{3.5})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).
- При $x \in (e^{3.5}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
В точке $x = e^{3.5}$ происходит смена знака выпуклости, значит, это точка перегиба.

7. Построение графика. График начинается от $-\infty$ у асимптоты $x=0$, возрастает, пересекает ось OX в точке $(e^2, 0)$, достигает максимума в $(e^3, e^{-3})$, меняет выпуклость в точке $x=e^{3.5}$ и затем убывает, асимптотически приближаясь к оси OX справа.
Ответ: Исследование проведено. Функция имеет глобальный максимум в точке $(e^3, e^{-3})$. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$. Точка перегиба при $x=e^{3.5}$. Точка пересечения с осью OX - $(e^2, 0)$.

4) $f(x) = \log_3(-x^2 - 6x)$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть положителен: $-x^2 - 6x > 0 \Rightarrow x^2 + 6x < 0 \Rightarrow x(x+6) < 0$. Решая неравенство, получаем $x \in (-6, 0)$. $D(f) = (-6; 0)$.

2. Четность. Область определения несимметрична относительно $y=0$, функция не является ни четной, ни нечетной. Однако она симметрична относительно прямой $x=-3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY: пересечения нет, $x=0$ не в $D(f)$.
С осью OX: $f(x)=0 \Rightarrow \log_3(-x^2 - 6x) = 0 \Rightarrow -x^2 - 6x = 3^0 = 1 \Rightarrow x^2 + 6x + 1 = 0$.
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4}}{2} = -3 \pm \sqrt{8} = -3 \pm 2\sqrt{2}$. Обе точки, $x_1 = -3 - 2\sqrt{2} \approx -5.83$ и $x_2 = -3 + 2\sqrt{2} \approx -0.17$, принадлежат области определения.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: на границах области определения.
$\lim_{x \to -6^+} \log_3(-x^2 - 6x) = \lim_{u \to 0^+} \log_3(u) = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} \log_3(-x^2 - 6x) = \lim_{u \to 0^+} \log_3(u) = -\infty$.
Прямые $x=-6$ и $x=0$ являются вертикальными асимптотами. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как область определения - конечный интервал.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = \left(\frac{\ln(-x^2-6x)}{\ln 3}\right)' = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{-2x-6}{-x^2-6x} = \frac{2(x+3)}{(\ln 3)(x^2+6x)}$.
Приравняем производную к нулю: $2(x+3)=0 \Rightarrow x=-3$.
Исследуем знак производной (знаменатель в $D(f)$ всегда положителен):
- При $x \in (-6, -3)$: $x+3 < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает. Ошибка, $x^2+6x < 0$ в области определения, а я написал $f'(x) = \frac{2(x+3)}{(\ln 3)(x^2+6x)}$. Надо $f'(x) = \frac{-2(x+3)}{(\ln 3)(-x^2-6x)}$. Знаменатель $-x^2-6x>0$. Знак определяется числителем $-2(x+3)$.
- При $x \in (-6, -3)$: $x+3 < 0 \Rightarrow -2(x+3)>0 \Rightarrow f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-3, 0)$: $x+3 > 0 \Rightarrow -2(x+3)<0 \Rightarrow f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=-3$ — точка глобального максимума. $f_{max} = f(-3) = \log_3(-(-3)^2 - 6(-3)) = \log_3(-9+18) = \log_3(9) = 2$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = \frac{1}{\ln 3} \left(\frac{-2x-6}{-x^2-6x}\right)' = \frac{1}{\ln 3} \frac{-2(-x^2-6x) - (-2x-6)(-2x-6)}{(-x^2-6x)^2} = \frac{1}{\ln 3} \frac{2x^2+12x - (4x^2+24x+36)}{(-x^2-6x)^2} = \frac{-2(x^2+6x+18)}{(\ln 3)(-x^2-6x)^2}$.
Знаменатель всегда положителен. Числитель $x^2+6x+18$ всегда положителен (дискриминант $36-72=-36<0$).
Следовательно, $f''(x) < 0$ на всей области определения. График функции всегда выпуклый вверх (выпуклый). Точек перегиба нет.

7. Построение графика. График функции представляет собой "шапку", симметричную относительно прямой $x=-3$. Он ограничен вертикальными асимптотами $x=-6$ и $x=0$, уходя к $-\infty$ у этих асимптот. Максимум функции достигается в точке $(-3, 2)$.
Ответ: Исследование проведено. Область определения функции $(-6, 0)$. Функция имеет глобальный максимум в точке $(-3, 2)$. Вертикальные асимптоты $x=-6$ и $x=0$. Функция возрастает на $(-6, -3)$ и убывает на $(-3, 0)$, всегда выпукла вверх. Пересечения с осью OX в точках $x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.