Номер 73, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Является ли функция $F(x)=|2x-6|$ первообразной функции $f(x)=-2$ на промежутке:

1) (4; 6);

2) (1; 2)?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Для решения задачи необходимо найти производную функции $F(x) = |2x - 6|$ и сравнить ее с функцией $f(x) = -2$ на указанных промежутках.

Сначала раскроем модуль в выражении для $F(x)$. Знак выражения $2x - 6$ меняется в точке $x = 3$.

• При $x \ge 3$, выражение $2x - 6 \ge 0$, поэтому $|2x - 6| = 2x - 6$.
• При $x < 3$, выражение $2x - 6 < 0$, поэтому $|2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x$.

Таким образом, функцию $F(x)$ можно представить в кусочном виде: $F(x) = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - 2x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на интервалах, не включая точку $x=3$ (где производная не существует): $F'(x) = \begin{cases} (2x - 6)' = 2, & \text{если } x > 3 \\ (6 - 2x)' = -2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Теперь проверим заданные промежутки.

1) (4; 6)

Для всех $x$ из промежутка $(4; 6)$ выполняется условие $x > 3$. Следовательно, на этом промежутке производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = 2$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x) = -2$: $F'(x) = 2 \neq -2 = f(x)$.

Так как равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется, функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(4; 6)$.

Ответ: нет.

2) (1; 2)

Для всех $x$ из промежутка $(1; 2)$ выполняется условие $x < 3$. Следовательно, на этом промежутке производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = -2$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x) = -2$: $F'(x) = -2 = f(x)$.

Так как равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из данного промежутка, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(1; 2)$.

Ответ: да.