Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Является ли функция $F(x)=|2x-6|$ первообразной функции $f(x)=-2$ на промежутке:

1) (4; 6);

2) (1; 2)?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Для решения задачи необходимо найти производную функции $F(x) = |2x - 6|$ и сравнить ее с функцией $f(x) = -2$ на указанных промежутках.

Сначала раскроем модуль в выражении для $F(x)$. Знак выражения $2x - 6$ меняется в точке $x = 3$.

• При $x \ge 3$, выражение $2x - 6 \ge 0$, поэтому $|2x - 6| = 2x - 6$.
• При $x < 3$, выражение $2x - 6 < 0$, поэтому $|2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x$.

Таким образом, функцию $F(x)$ можно представить в кусочном виде: $F(x) = \begin{cases} 2x - 6, & \text{если } x \ge 3 \\ 6 - 2x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на интервалах, не включая точку $x=3$ (где производная не существует): $F'(x) = \begin{cases} (2x - 6)' = 2, & \text{если } x > 3 \\ (6 - 2x)' = -2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Теперь проверим заданные промежутки.

1) (4; 6)

Для всех $x$ из промежутка $(4; 6)$ выполняется условие $x > 3$. Следовательно, на этом промежутке производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = 2$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x) = -2$: $F'(x) = 2 \neq -2 = f(x)$.

Так как равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется, функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(4; 6)$.

Ответ: нет.

2) (1; 2)

Для всех $x$ из промежутка $(1; 2)$ выполняется условие $x < 3$. Следовательно, на этом промежутке производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = -2$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x) = -2$: $F'(x) = -2 = f(x)$.

Так как равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из данного промежутка, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(1; 2)$.

Ответ: да.

74. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^6$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M(-2; 100)$;

2) $f(x) = \sin x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M\left(\frac{5\pi}{2}; 3\right)$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (-\pi; 0)$, $M\left(-\frac{\pi}{4}; -2\right)$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $I = (-\infty; 0)$, $M\left(-\frac{1}{3}; 6\right)$;

5) $f(x) = \sqrt[4]{x}$, $I = [0; +\infty)$, $M(1; 1)$.

1)

Дана функция $f(x) = x^6$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(-2; 100)$.

Общий вид первообразной для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $n=6$, поэтому общая форма первообразной:

$F(x) = \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Чтобы найти константу $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-2; 100)$, то есть $F(-2) = 100$.

Подставим значения $x=-2$ и $F(x)=100$ в уравнение первообразной:

$\frac{(-2)^7}{7} + C = 100$

$\frac{-128}{7} + C = 100$

$C = 100 + \frac{128}{7} = \frac{700}{7} + \frac{128}{7} = \frac{828}{7}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = \frac{x^7}{7} + \frac{828}{7}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + \frac{828}{7}$.

2)

Дана функция $f(x) = \sin x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(\frac{5\pi}{2}; 3)$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \sin x$:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{5\pi}{2}; 3)$, то есть $F(\frac{5\pi}{2}) = 3$.

Подставляем значения:

$-\cos(\frac{5\pi}{2}) + C = 3$.

Так как $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$-0 + C = 3$

$C = 3$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\cos x + 3$.

Ответ: $F(x) = -\cos x + 3$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (-\pi; 0)$ и точка $M(-\frac{\pi}{4}; -2)$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{4}; -2)$, то есть $F(-\frac{\pi}{4}) = -2$.

Подставляем значения:

$-\cot(-\frac{\pi}{4}) + C = -2$.

Так как $\cot(-x) = -\cot x$, а $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\cot(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

$-(-1) + C = -2$

$1 + C = -2$

$C = -3$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\cot x - 3$.

Ответ: $F(x) = -\cot x - 3$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ и точка $M(-\frac{1}{3}; 6)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{1}{3}; 6)$, то есть $F(-\frac{1}{3}) = 6$.

Подставляем значения:

$-\frac{1}{2(-\frac{1}{3})^2} + C = 6$

$-\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{9}} + C = 6$

$-\frac{1}{\frac{2}{9}} + C = 6$

$-\frac{9}{2} + C = 6$

$C = 6 + \frac{9}{2} = \frac{12}{2} + \frac{9}{2} = \frac{21}{2}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{21}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{21}{2}$.

5)

Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ на промежутке $I = [0; +\infty)$ и точка $M(1; 1)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 1)$, то есть $F(1) = 1$.

Подставляем значения:

$\frac{4}{5}(1)^{\frac{5}{4}} + C = 1$

$\frac{4}{5} + C = 1$

$C = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + \frac{1}{5}$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + \frac{1}{5}$.

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x - 10$;

2) $f(x) = 5x^4 - 6x + 2$;

3) $f(x) = 18x^5 + 16x^7$;

4) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

5) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

6) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$;

7) $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7$ на промежутке $[0; +\infty)$.

1) $f(x) = x - 10$

Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правило интегрирования константы $\int k \,dx = kx + C$.

$F(x) = \int (x - 10) \,dx = \int x^1 \,dx - \int 10 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 10x + C = \frac{x^2}{2} - 10x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 10x + C$

2) $f(x) = 5x^4 - 6x + 2$

Найдем неопределенный интеграл от функции, применяя правила интегрирования для суммы/разности функций и степенной функции:

$F(x) = \int (5x^4 - 6x + 2) \,dx = 5 \int x^4 \,dx - 6 \int x^1 \,dx + \int 2 \,dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^5 - 3x^2 + 2x + C$.

Ответ: $F(x) = x^5 - 3x^2 + 2x + C$

3) $f(x) = 18x^5 + 16x^7$

Найдем неопределенный интеграл от данной функции:

$F(x) = \int (18x^5 + 16x^7) \,dx = 18 \int x^5 \,dx + 16 \int x^7 \,dx$

$F(x) = 18 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + 16 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 18 \cdot \frac{x^6}{6} + 16 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 3x^6 + 2x^8 + C$.

Ответ: $F(x) = 3x^6 + 2x^8 + C$

4) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$

Сначала преобразуем функцию к удобному для интегрирования виду: $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}} = x^2 + 7x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (x^2 + 7x^{-1/2}) \,dx = \int x^2 \,dx + 7 \int x^{-1/2} \,dx$

Используя правило для степенной функции, получаем:

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 7 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^3}{3} + 7 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 14x^{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$

5) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

Преобразуем функцию к степенному виду: $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{10}{x^6} = 4x^{-2} - 10x^{-6}$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (4x^{-2} - 10x^{-6}) \,dx = 4 \int x^{-2} \,dx - 10 \int x^{-6} \,dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 10 \cdot \frac{x^{-6+1}}{-6+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 10 \cdot \frac{x^{-5}}{-5} + C = -4x^{-1} + 2x^{-5} + C = -\frac{4}{x} + \frac{2}{x^5} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{4}{x} + \frac{2}{x^5} + C$

6) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$

Для нахождения общего вида первообразных найдем неопределенный интеграл функции. Используем табличные интегралы от тригонометрических функций: $\int \sin x \,dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = -\cot x + C$.

$F(x) = \int (6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) \,dx = 6 \int \sin x \,dx + 3 \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx$

$F(x) = 6(-\cos x) + 3(-\cot x) + C = -6\cos x - 3\cot x + C$.

Ответ: $F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$

7) $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7$ на промежутке $[0; +\infty)$

Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 4\sqrt{x} - 8x^7 = 4x^{1/2} - 8x^7$.

Найдем общий вид первообразных на указанном промежутке:

$F(x) = \int (4x^{1/2} - 8x^7) \,dx = 4 \int x^{1/2} \,dx - 8 \int x^7 \,dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 8 \cdot \frac{x^8}{8} + C = 4 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - x^8 + C = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^8 + C$.

Результат также можно записать в виде $\frac{8}{3}x\sqrt{x} - x^8 + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{3}x^{3/2} - x^8 + C$

76. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, удовлетворяющую данному условию:

1) $f(x) = 24x^2 - 16x + 1$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(\frac{1}{2}) = 3,5;$

2) $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(1) = 1;$

3) $f(x) = \frac{5}{x^2} + 6$, $I = (0; +\infty)$, $F(2,5) = -1.$

1)

Для функции $f(x) = 24x^2 - 16x + 1$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{1}{2}) = 3,5$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (24x^2 - 16x + 1) dx = 24\int x^2 dx - 16\int x dx + \int 1 dx$

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 24 \cdot \frac{x^3}{3} - 16 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 8x^3 - 8x^2 + x + C$.

Это семейство всех первообразных для функции $f(x)$. Чтобы найти конкретную первообразную, используем условие $F(\frac{1}{2}) = 3,5$. Подставим $x = \frac{1}{2}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 8(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + C = 8 \cdot \frac{1}{8} - 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + C = 1 - 2 + 0,5 + C = -0,5 + C$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению:

$-0,5 + C = 3,5$

$C = 3,5 + 0,5 = 4$.

Подставляем найденное значение $C=4$ в общий вид первообразной:

$F(x) = 8x^3 - 8x^2 + x + 4$.

Ответ: $F(x) = 8x^3 - 8x^2 + x + 4$.

2)

Для функции $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(1) = 1$.

Перепишем функцию $f(x)$, используя степенные обозначения: $f(x) = 10x^9 + \frac{3}{8}x^{-1/2}$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (10x^9 + \frac{3}{8}x^{-1/2}) dx = 10\int x^9 dx + \frac{3}{8}\int x^{-1/2} dx$

$F(x) = 10 \cdot \frac{x^{10}}{10} + \frac{3}{8} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{10} + \frac{3}{8} \cdot 2x^{1/2} + C = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} + C$.

Теперь используем условие $F(1) = 1$. Подставим $x = 1$:

$F(1) = 1^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{1} + C = 1 + \frac{3}{4} + C = \frac{7}{4} + C$.

Решим уравнение относительно $C$:

$\frac{7}{4} + C = 1$

$C = 1 - \frac{7}{4} = \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{3}{4}$.

Подставляем значение $C$ обратно в выражение для $F(x)$:

$F(x) = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} - \frac{3}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^{10} + \frac{3}{4}\sqrt{x} - \frac{3}{4}$.

3)

Для функции $f(x) = \frac{5}{x^2} + 6$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ нужно найти первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(2,5) = -1$.

Перепишем функцию в виде $f(x) = 5x^{-2} + 6$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (5x^{-2} + 6) dx = 5\int x^{-2} dx + \int 6 dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 6x + C = -5x^{-1} + 6x + C = -\frac{5}{x} + 6x + C$.

Используем условие $F(2,5) = -1$. Подставим $x = 2,5$:

$F(2,5) = -\frac{5}{2,5} + 6 \cdot 2,5 + C = -2 + 15 + C = 13 + C$.

Решим уравнение относительно $C$:

$13 + C = -1$

$C = -1 - 13 = -14$.

Подставляем значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = -\frac{5}{x} + 6x - 14$.

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{x} + 6x - 14$.