Номер 74, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^6$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M(-2; 100)$;

2) $f(x) = \sin x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M\left(\frac{5\pi}{2}; 3\right)$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (-\pi; 0)$, $M\left(-\frac{\pi}{4}; -2\right)$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $I = (-\infty; 0)$, $M\left(-\frac{1}{3}; 6\right)$;

5) $f(x) = \sqrt[4]{x}$, $I = [0; +\infty)$, $M(1; 1)$.

1)

Дана функция $f(x) = x^6$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(-2; 100)$.

Общий вид первообразной для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $n=6$, поэтому общая форма первообразной:

$F(x) = \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Чтобы найти константу $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-2; 100)$, то есть $F(-2) = 100$.

Подставим значения $x=-2$ и $F(x)=100$ в уравнение первообразной:

$\frac{(-2)^7}{7} + C = 100$

$\frac{-128}{7} + C = 100$

$C = 100 + \frac{128}{7} = \frac{700}{7} + \frac{128}{7} = \frac{828}{7}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = \frac{x^7}{7} + \frac{828}{7}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + \frac{828}{7}$.

2)

Дана функция $f(x) = \sin x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$ и точка $M(\frac{5\pi}{2}; 3)$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \sin x$:

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{5\pi}{2}; 3)$, то есть $F(\frac{5\pi}{2}) = 3$.

Подставляем значения:

$-\cos(\frac{5\pi}{2}) + C = 3$.

Так как $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$-0 + C = 3$

$C = 3$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\cos x + 3$.

Ответ: $F(x) = -\cos x + 3$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (-\pi; 0)$ и точка $M(-\frac{\pi}{4}; -2)$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{4}; -2)$, то есть $F(-\frac{\pi}{4}) = -2$.

Подставляем значения:

$-\cot(-\frac{\pi}{4}) + C = -2$.

Так как $\cot(-x) = -\cot x$, а $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\cot(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

$-(-1) + C = -2$

$1 + C = -2$

$C = -3$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\cot x - 3$.

Ответ: $F(x) = -\cot x - 3$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ и точка $M(-\frac{1}{3}; 6)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(-\frac{1}{3}; 6)$, то есть $F(-\frac{1}{3}) = 6$.

Подставляем значения:

$-\frac{1}{2(-\frac{1}{3})^2} + C = 6$

$-\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{9}} + C = 6$

$-\frac{1}{\frac{2}{9}} + C = 6$

$-\frac{9}{2} + C = 6$

$C = 6 + \frac{9}{2} = \frac{12}{2} + \frac{9}{2} = \frac{21}{2}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{21}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x^2} + \frac{21}{2}$.

5)

Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ на промежутке $I = [0; +\infty)$ и точка $M(1; 1)$.

Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 1)$, то есть $F(1) = 1$.

Подставляем значения:

$\frac{4}{5}(1)^{\frac{5}{4}} + C = 1$

$\frac{4}{5} + C = 1$

$C = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + \frac{1}{5}$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + \frac{1}{5}$.