Номер 78, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = 6\cos6x - \frac{1}{4}\sin\frac{x}{4}, I = (-\infty; +\infty), A(\pi; -2);$

2) $f(x) = \frac{9}{\sin^2\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)}, I = \left(-\frac{\pi}{9}; \frac{2\pi}{9}\right), B\left(\frac{\pi}{9}; 2\sqrt{3}\right);$

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}, I = (0,1; +\infty), C(5; 2);$

4) $f(x) = 12^x \ln12 + 3^x \ln3, I = (-\infty; +\infty), D(2; 150);$

5) $f(x) = 20x^4 - e^{-2x}, I = (-\infty; +\infty), M\left(-2; \frac{e^4}{2}\right);$

6) $f(x) = \frac{12}{6x + 5}, I = \left(-\frac{5}{6}; +\infty\right), K(0,5; 6\ln 2);$

7) $f(x) = e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x - 1}, I = (-\infty; 0,5), E(0; 9);$

8) $f(x) = \frac{3}{x - 6} + \frac{5}{2\sqrt{x - 3}}, I = (6; +\infty), F(7; -1).$

1) Для того чтобы найти первообразную $F$, график которой проходит через заданную точку, сначала найдём общий вид первообразных для функции $f(x)$.
$F(x) = \int (6\cos(6x) - \frac{1}{4}\sin\frac{x}{4}) dx = 6\int \cos(6x)dx - \frac{1}{4}\int \sin\frac{x}{4}dx = 6 \cdot \frac{1}{6}\sin(6x) - \frac{1}{4} \cdot (-4\cos\frac{x}{4}) + C = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} + C$.
Теперь используем условие, что график проходит через точку $A(\pi; -2)$, то есть $F(\pi) = -2$.
$\sin(6\pi) + \cos\frac{\pi}{4} + C = -2$
$0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + C = -2$
$C = -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $F(x) = \sin(6x) + \cos\frac{x}{4} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{9}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})}$.
$F(x) = \int \frac{9}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})} dx = 9 \int \frac{1}{\sin^2(3x+\frac{\pi}{3})} dx = 9 \cdot (-\frac{1}{3}\cot(3x+\frac{\pi}{3})) + C = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $B(\frac{\pi}{9}; 2\sqrt{3})$, то есть $F(\frac{\pi}{9}) = 2\sqrt{3}$.
$-3\cot(3 \cdot \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3\cot(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3\cot(\frac{2\pi}{3}) + C = 2\sqrt{3}$
$-3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) + C = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} + C = 2\sqrt{3}$
$C = \sqrt{3}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$.
Ответ: $F(x) = -3\cot(3x+\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3}$.

3) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x-1}}$.
$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{10x-1}} dx = \int (10x-1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{10}\frac{(10x-1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $C(5; 2)$, то есть $F(5) = 2$.
$\frac{1}{5}\sqrt{10 \cdot 5 - 1} + C = 2$
$\frac{1}{5}\sqrt{49} + C = 2$
$\frac{7}{5} + C = 2$
$C = 2 - \frac{7}{5} = \frac{3}{5}$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + \frac{3}{5}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + \frac{3}{5}$.

4) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = 12^x\ln 12 + 3^x\ln 3$.
$F(x) = \int (12^x\ln 12 + 3^x\ln 3) dx = 12^x + 3^x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $D(2; 150)$, то есть $F(2) = 150$.
$12^2 + 3^2 + C = 150$
$144 + 9 + C = 150$
$153 + C = 150$
$C = -3$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 12^x + 3^x - 3$.
Ответ: $F(x) = 12^x + 3^x - 3$.

5) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = 20x^4 - e^{-2x}$.
$F(x) = \int (20x^4 - e^{-2x}) dx = 20\frac{x^5}{5} - \frac{e^{-2x}}{-2} + C = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(-2; \frac{e^4}{2})$, то есть $F(-2) = \frac{e^4}{2}$.
$4(-2)^5 + \frac{1}{2}e^{-2(-2)} + C = \frac{e^4}{2}$
$4(-32) + \frac{1}{2}e^4 + C = \frac{e^4}{2}$
$-128 + \frac{e^4}{2} + C = \frac{e^4}{2}$
$C = 128$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + 128$.
Ответ: $F(x) = 4x^5 + \frac{1}{2}e^{-2x} + 128$.

6) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{12}{6x+5}$.
$F(x) = \int \frac{12}{6x+5} dx = 12 \cdot \frac{1}{6}\ln|6x+5| + C = 2\ln|6x+5| + C$.
На интервале $I = (-\frac{5}{6}; +\infty)$, выражение $6x+5 > 0$, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = 2\ln(6x+5) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $K(0.5; 6\ln 2)$, то есть $F(0.5) = 6\ln 2$.
$2\ln(6 \cdot 0.5 + 5) + C = 6\ln 2$
$2\ln(3 + 5) + C = 6\ln 2$
$2\ln(8) + C = 6\ln 2$
$2\ln(2^3) + C = 6\ln 2$
$6\ln 2 + C = 6\ln 2$
$C = 0$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2\ln(6x+5)$.
Ответ: $F(x) = 2\ln(6x+5)$.

7) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x-1}$.
$F(x) = \int (e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2x-1}) dx = \frac{e^{\frac{x}{6}}}{\frac{1}{6}} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$.
На интервале $I = (-\infty; 0.5)$, выражение $2x-1 < 0$, поэтому $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$. Следовательно, $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $E(0; 9)$, то есть $F(0) = 9$.
$6e^{\frac{0}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2 \cdot 0) + C = 9$
$6e^0 + \frac{1}{2}\ln(1) + C = 9$
$6 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + C = 9$
$6 + C = 9$
$C = 3$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.
Ответ: $F(x) = 6e^{\frac{x}{6}} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

8) Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{3}{x-6} + \frac{5}{2\sqrt{x-3}}$.
$F(x) = \int (\frac{3}{x-6} + \frac{5}{2\sqrt{x-3}}) dx = 3\int \frac{dx}{x-6} + 5\int \frac{dx}{2\sqrt{x-3}} = 3\ln|x-6| + 5\sqrt{x-3} + C$.
На интервале $I = (6; +\infty)$, выражение $x-6 > 0$, поэтому модуль можно опустить: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $F(7; -1)$, то есть $F(7) = -1$.
$3\ln(7-6) + 5\sqrt{7-3} + C = -1$
$3\ln(1) + 5\sqrt{4} + C = -1$
$3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 + C = -1$
$10 + C = -1$
$C = -11$.
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} - 11$.
Ответ: $F(x) = 3\ln(x-6) + 5\sqrt{x-3} - 11$.