Номер 66, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Найдите наименьшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{12x-x^2-39}$;

2) $f(x) = \log_4(x^2 + 2x + 17) - 2.$

1) f(x) = $(\frac{1}{5})^{12x-x^2-39}$

Чтобы найти наименьшее значение показательной функции $f(x) = a^{g(x)}$, нужно проанализировать ее основание $a$ и показатель степени $g(x)$.
В данном случае основание $a = \frac{1}{5}$, и $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ достигается при наибольшем значении показателя степени $g(x) = 12x - x^2 - 39$.
Найдем наибольшее значение квадратного трехчлена $g(x) = -x^2 + 12x - 39$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), следовательно, она имеет точку максимума в своей вершине.
Координата вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для $g(x) = -x^2 + 12x - 39$, имеем $a=-1$, $b=12$.
$x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6$.
Теперь найдем максимальное значение показателя, подставив $x_0 = 6$ в $g(x)$:
$g_{max} = g(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 - 39 = -36 + 72 - 39 = 36 - 39 = -3$.
Наибольшее значение показателя степени равно -3.
Теперь вычислим наименьшее значение исходной функции $f(x)$, подставив $g_{max}$ в качестве показателя:
$f_{min} = (\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.

Ответ: 125.

2) f(x) = $\log_4(x^2 + 2x + 17) - 2$

Чтобы найти наименьшее значение логарифмической функции $f(x) = \log_b(h(x)) + C$, нужно проанализировать ее основание $b$ и выражение под знаком логарифма $h(x)$.
В данном случае основание $b = 4$, и $b > 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $f(x)$ достигается при наименьшем значении выражения под знаком логарифма $h(x) = x^2 + 2x + 17$.
Найдем наименьшее значение квадратного трехчлена $h(x) = x^2 + 2x + 17$. Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), следовательно, она имеет точку минимума в своей вершине.
Координата вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для $h(x) = x^2 + 2x + 17$, имеем $a=1$, $b=2$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Теперь найдем минимальное значение выражения под логарифмом, подставив $x_0 = -1$ в $h(x)$:
$h_{min} = h(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 17 = 1 - 2 + 17 = 16$.
Так как $16 > 0$, значение находится в области определения логарифма.
Теперь вычислим наименьшее значение исходной функции $f(x)$, подставив $h_{min}$ под знак логарифма:
$f_{min} = \log_4(16) - 2 = \log_4(4^2) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Ответ: 0.