Номер 65, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3xe - e^{3x};$

2) $f(x) = e^{x^2-10x+5};$

3) $f(x) = e^{x^5};$

4) $f(x) = (4x + 6)e^{2x};$

5) $f(x) = (5 - x)e^{5-x};$

6) $f(x) = x^3e^{-\frac{x}{4}};$

7) $f(x) = (x^2 + 3x - 9)e^{x-4};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{x+2};$

9) $f(x) = 3x - x \ln x;$

10) $f(x) = x^2 \ln x;$

11) $f(x) = x^4 \lg x;$

12) $f(x) = \frac{x^3}{\ln x}.$

1) $f(x) = 3xe - e^{3x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (3xe - e^{3x})' = 3e \cdot 1 - e^{3x} \cdot 3 = 3(e - e^{3x})$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3(e - e^{3x}) = 0 \implies e = e^{3x} \implies 1 = 3x \implies x = \frac{1}{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой:
- При $x < \frac{1}{3}$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x > \frac{1}{3}$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = \frac{1}{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{3}]$; убывает на промежутке $[\frac{1}{3}, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = \frac{1}{3}$.

2) $f(x) = e^{x^2-10x+5}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (e^{x^2-10x+5})' = e^{x^2-10x+5} \cdot (x^2-10x+5)' = (2x-10)e^{x^2-10x+5}$.

3. Найдем критические точки: $(2x-10)e^{x^2-10x+5} = 0$. Так как $e^{x^2-10x+5} > 0$ всегда, то $2x-10=0 \implies x=5$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < 5$, $2x-10 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 5$, $2x-10 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=5$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 5]$; возрастает на промежутке $[5, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 5$.

3) $f(x) = e^{x^5}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (e^{x^5})' = e^{x^5} \cdot (x^5)' = 5x^4e^{x^5}$.

3. Найдем критические точки: $5x^4e^{x^5} = 0$. Так как $e^{x^5} > 0$, то $5x^4=0 \implies x=0$.

4. Так как $x^4 \ge 0$ и $e^{x^5} > 0$, то $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

5. Точек экстремума нет, так как производная не меняет знак.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; точек экстремума нет.

4) $f(x) = (4x+6)e^{2x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную по правилу произведения: $f'(x) = (4x+6)'e^{2x} + (4x+6)(e^{2x})' = 4e^{2x} + (4x+6) \cdot 2e^{2x} = (4 + 8x + 12)e^{2x} = (8x+16)e^{2x}$.

3. Найдем критические точки: $(8x+16)e^{2x} = 0$. Так как $e^{2x} > 0$, то $8x+16=0 \implies x=-2$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < -2$, $8x+16 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > -2$, $8x+16 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-2$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = -2$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$; возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -2$.

5) $f(x) = (5-x)e^{5-x}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (5-x)'e^{5-x} + (5-x)(e^{5-x})' = -1 \cdot e^{5-x} + (5-x) \cdot (-1)e^{5-x} = (-1 - 5 + x)e^{5-x} = (x-6)e^{5-x}$.

3. Найдем критические точки: $(x-6)e^{5-x} = 0$. Так как $e^{5-x} > 0$, то $x-6=0 \implies x=6$.

4. Определим знаки производной:
- При $x < 6$, $x-6 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 6$, $x-6 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=6$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = 6$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 6]$; возрастает на промежутке $[6, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 6$.

6) $f(x) = x^3e^{-x/4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^3)'e^{-x/4} + x^3(e^{-x/4})' = 3x^2e^{-x/4} + x^3 \cdot (-\frac{1}{4})e^{-x/4} = x^2e^{-x/4}(3-\frac{x}{4})$.

3. Найдем критические точки: $x^2e^{-x/4}(3-\frac{x}{4}) = 0$. Отсюда $x^2=0 \implies x=0$ или $3-\frac{x}{4}=0 \implies x=12$.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $3-\frac{x}{4}$, так как $x^2e^{-x/4} \ge 0$.
- При $x < 12$ (и $x \ne 0$), $3-\frac{x}{4} > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x > 12$, $3-\frac{x}{4} < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не точка экстремума. В точке $x=12$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = 12$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 12]$; убывает на промежутке $[12, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 12$.

7) $f(x) = (x^2+3x-9)e^{x-4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (2x+3)e^{x-4} + (x^2+3x-9)e^{x-4} = (x^2+5x-6)e^{x-4}$.

3. Найдем критические точки: $(x^2+5x-6)e^{x-4}=0$. Решаем квадратное уравнение $x^2+5x-6=0$, корни которого $x_1=-6, x_2=1$.

4. Определим знаки производной (знак совпадает со знаком $x^2+5x-6$):
- При $x \in (-\infty, -6)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-6, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-6$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума ($x_{max}=-6$). В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума ($x_{min}=1$).

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -6]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $[-6, 1]$; точка максимума $x_{max}=-6$, точка минимума $x_{min}=1$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{x+2}$

1. Область определения функции: $x+2 \ne 0 \implies x \ne -2$. $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

2. Найдем производную по правилу частного: $f'(x) = \frac{(e^x)'(x+2) - e^x(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+2) - e^x}{(x+2)^2} = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x)=0$ при $e^x(x+1)=0 \implies x=-1$. Производная не определена при $x=-2$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $x+1$):
- При $x \in (-\infty, -2)$, $x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2, -1)$, $x+1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, +\infty)$, $x+1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, -1]$; возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=-1$.

9) $f(x) = 3x - x\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = 3 - (x' \ln x + x (\ln x)') = 3 - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = 3 - (\ln x + 1) = 2 - \ln x$.

3. Найдем критические точки: $2 - \ln x = 0 \implies \ln x = 2 \implies x = e^2$.

4. Определим знаки производной:
- При $x \in (0, e^2)$, $\ln x < 2 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (e^2, +\infty)$, $\ln x > 2 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=e^2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $x_{max} = e^2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, e^2]$; убывает на промежутке $[e^2, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = e^2$.

10) $f(x) = x^2\ln x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^2)'\ln x + x^2(\ln x)' = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

3. Найдем критические точки: $x(2\ln x + 1) = 0$. Так как $x>0$, то $2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $2\ln x + 1$):
- При $x \in (0, e^{-1/2})$, $\ln x < -\frac{1}{2} \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/2}, +\infty)$, $\ln x > -\frac{1}{2} \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{-1/2}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{-1/2}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/2}]$; возрастает на промежутке $[e^{-1/2}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{-1/2}$.

11) $f(x) = x^4\lg x$

1. Область определения функции: $x>0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (x^4)'\lg x + x^4(\lg x)' = 4x^3\lg x + x^4 \frac{1}{x\ln 10} = 4x^3\frac{\ln x}{\ln 10} + \frac{x^3}{\ln 10} = \frac{x^3}{\ln 10}(4\ln x + 1)$.

3. Найдем критические точки: $\frac{x^3}{\ln 10}(4\ln x + 1) = 0$. Так как $\frac{x^3}{\ln 10} > 0$ на области определения, то $4\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{4} \implies x = e^{-1/4}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $4\ln x + 1$):
- При $x \in (0, e^{-1/4})$, $\ln x < -\frac{1}{4} \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/4}, +\infty)$, $\ln x > -\frac{1}{4} \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{-1/4}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{-1/4}$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/4}]$; возрастает на промежутке $[e^{-1/4}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{-1/4}$.

12) $f(x) = \frac{x^3}{\ln x}$

1. Область определения функции: $x>0$ и $\ln x \ne 0 \implies x \ne 1$. $D(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Найдем производную: $f'(x) = \frac{(x^3)'\ln x - x^3(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{3x^2\ln x - x^3 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{3x^2\ln x - x^2}{(\ln x)^2} = \frac{x^2(3\ln x - 1)}{(\ln x)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x)=0 \implies x^2(3\ln x - 1) = 0$. Так как $x>0$, то $3\ln x - 1 = 0 \implies \ln x = \frac{1}{3} \implies x = e^{1/3}$.

4. Определим знаки производной (знак зависит от $3\ln x - 1$):
- При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0 \implies 3\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, e^{1/3})$, $0 < \ln x < \frac{1}{3} \implies 3\ln x - 1 < 0 \implies f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{1/3}, +\infty)$, $\ln x > \frac{1}{3} \implies 3\ln x - 1 > 0 \implies f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=e^{1/3}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $x_{min} = e^{1/3}$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(0, 1)$ и $(1, e^{1/3}]$; возрастает на промежутке $[e^{1/3}, +\infty)$; точка минимума $x_{min}=e^{1/3}$.