Номер 55, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{5x} - e^{-4x^2}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 6^{3x^2+4x+1}$, $x_0 = -1$;

3) $f(x) = e^{6x} (x^2 - 2)$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{e^{8x}}{\sin \frac{x}{2}}$, $x_0 = \pi$.

1)

Для функции $f(x) = e^{5x} - e^{-4x^2}$ найдем ее производную. Производная разности функций равна разности производных. Для нахождения производных каждого слагаемого воспользуемся цепным правилом для сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

$(e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x}$

$(e^{-4x^2})' = e^{-4x^2} \cdot (-4x^2)' = e^{-4x^2} \cdot (-8x) = -8xe^{-4x^2}$

Таким образом, производная исходной функции равна:

$f'(x) = 5e^{5x} - (-8xe^{-4x^2}) = 5e^{5x} + 8xe^{-4x^2}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} + 8 \cdot 0 \cdot e^{-4 \cdot 0^2} = 5e^0 + 0 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

2)

Для функции $f(x) = 6^{3x^2+4x+1}$ найдем ее производную. Воспользуемся правилом дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.

В данном случае $a=6$ и $u(x) = 3x^2+4x+1$. Найдем производную показателя степени:

$u'(x) = (3x^2+4x+1)' = 6x+4$.

Теперь найдем производную всей функции:

$f'(x) = 6^{3x^2+4x+1} \cdot \ln 6 \cdot (6x+4)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 6^{3(-1)^2+4(-1)+1} \cdot \ln 6 \cdot (6(-1)+4)$.

Вычислим значение показателя степени: $3(1) - 4 + 1 = 0$.

Вычислим значение множителя в скобках: $-6 + 4 = -2$.

$f'(-1) = 6^0 \cdot \ln 6 \cdot (-2) = 1 \cdot \ln 6 \cdot (-2) = -2\ln 6$.

Ответ: $-2\ln 6$

3)

Для функции $f(x) = e^{6x}(x^2 - 2)$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^{6x}$ и $v(x) = x^2 - 2$. Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{6x})' = e^{6x} \cdot (6x)' = 6e^{6x}$.

$v'(x) = (x^2 - 2)' = 2x$.

Применяем правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 6e^{6x}(x^2 - 2) + e^{6x}(2x)$.

Вынесем общий множитель $e^{6x}$ за скобки:

$f'(x) = e^{6x}(6(x^2 - 2) + 2x) = e^{6x}(6x^2 - 12 + 2x) = e^{6x}(6x^2 + 2x - 12)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = e^{6 \cdot 2}(6 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 12) = e^{12}(6 \cdot 4 + 4 - 12) = e^{12}(24 + 4 - 12) = e^{12}(16) = 16e^{12}$.

Ответ: $16e^{12}$

4)

Для функции $f(x) = \frac{e^{8x}}{\sin\frac{x}{2}}$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^{8x}$ и $v(x) = \sin\frac{x}{2}$. Найдем их производные:

$u'(x) = (e^{8x})' = e^{8x} \cdot (8x)' = 8e^{8x}$.

$v'(x) = (\sin\frac{x}{2})' = \cos(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Применяем правило частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{8e^{8x} \sin\frac{x}{2} - e^{8x} \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}}{(\sin\frac{x}{2})^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:

$f'(\pi) = \frac{8e^{8\pi} \sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}e^{8\pi}\cos\frac{\pi}{2}}{\sin^2\frac{\pi}{2}}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, подставляем эти значения:

$f'(\pi) = \frac{8e^{8\pi} \cdot 1 - \frac{1}{2}e^{8\pi} \cdot 0}{1^2} = \frac{8e^{8\pi}}{1} = 8e^{8\pi}$.

Ответ: $8e^{8\pi}$