Номер 50, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Найдите множество решений неравенства:

1) $ \log_3 x + \log_3 (x + 2) \ge 1 $

2) $ \log_{0,2} (x - 1) + \log_{0,2} (x + 3) \ge -1 $

3) $ \log_{0,7} (x + 1) + \log_{0,7} (5 - x) \ge \log_{0,7} (x + 7) $

4) $ \log_2 (x + 2) - \log_2 (x - 1) \ge 1 - \log_2 (5 - x) $

1) $\log_{3} x + \log_{3} (x + 2) \geq 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, преобразуем левую часть неравенства:
$\log_{3} (x(x + 2)) \geq 1$
Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = \log_{3} 3$.
$\log_{3} (x^2 + 2x) \geq \log_{3} 3$
Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_{3} t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 2x \geq 3$
$x^2 + 2x - 3 \geq 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.
Пересечением множеств $(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$ и $(0, +\infty)$ является промежуток $[1, +\infty)$.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2) $\log_{0,2} (x - 1) + \log_{0,2} (x + 3) \geq -1$

ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x > 1$.
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Преобразуем неравенство:
$\log_{0,2} ((x - 1)(x + 3)) \geq -1$
Представим -1 как логарифм по основанию 0,2: $-1 = \log_{0,2} (0,2^{-1}) = \log_{0,2} (1/0,2) = \log_{0,2} 5$.
$\log_{0,2} (x^2 + 2x - 3) \geq \log_{0,2} 5$
Так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$, функция $y = \log_{0,2} t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 2x - 3 \leq 5$
$x^2 + 2x - 8 \leq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Решением неравенства $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ является промежуток $[-4, 2]$.

Найдем пересечение решения $[-4, 2]$ с ОДЗ $x \in (1, +\infty)$.
Пересечением является промежуток $(1, 2]$.
Ответ: $x \in (1, 2]$.

3) $\log_{0,7} (x + 1) + \log_{0,7} (5 - x) \geq \log_{0,7} (x + 7)$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow -1 < x < 5$.
ОДЗ: $x \in (-1, 5)$.

Преобразуем левую часть:
$\log_{0,7} ((x + 1)(5 - x)) \geq \log_{0,7} (x + 7)$
Так как основание $0,7 \in (0, 1)$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$(x + 1)(5 - x) \leq x + 7$
$5x - x^2 + 5 - x \leq x + 7$
$-x^2 + 4x + 5 \leq x + 7$
$-x^2 + 3x - 2 \leq 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 3x + 2 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение решения $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \in (-1, 5)$.
Пересечением является $(-1, 1] \cup [2, 5)$.
Ответ: $x \in (-1, 1] \cup [2, 5)$.

4) $\log_{2} (x + 2) - \log_{2} (x - 1) \geq 1 - \log_{2} (5 - x)$

ОДЗ:
$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > 1 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow 1 < x < 5$.
ОДЗ: $x \in (1, 5)$.

Перенесем все логарифмы в левую часть:
$\log_{2} (x + 2) - \log_{2} (x - 1) + \log_{2} (5 - x) \geq 1$
Используя свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получим:
$\log_{2} \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 1} \geq 1$
Представим 1 как логарифм по основанию 2: $1 = \log_{2} 2$.
$\log_{2} \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 1} \geq \log_{2} 2$
Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей, знак неравенства сохраняется:
$\frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 1} \geq 2$
$\frac{5x - x^2 + 10 - 2x}{x - 1} - 2 \geq 0$
$\frac{-x^2 + 3x + 10}{x - 1} - \frac{2(x - 1)}{x - 1} \geq 0$
$\frac{-x^2 + 3x + 10 - 2x + 2}{x - 1} \geq 0$
$\frac{-x^2 + x + 12}{x - 1} \geq 0$
Умножим на -1 и изменим знак:
$\frac{x^2 - x - 12}{x - 1} \leq 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Числитель: $x^2 - x - 12 = 0$. Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Знаменатель: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Нанесем точки -3, 1, 4 на числовую ось. Точки -3 и 4 будут закрашенными (нестрогое неравенство), точка 1 — выколотой (знаменатель).
Определим знаки выражения $\frac{(x-4)(x+3)}{x-1}$ на интервалах: $(-\infty, -3]$, $[-3, 1)$, $(1, 4]$, $[4, +\infty)$.
При $x>4$: $(+)(+)/(+) \Rightarrow +$
При $x \in (1, 4)$: $(-)(+)/(+) \Rightarrow -$
При $x \in (-3, 1)$: $(-)(+)/(-) \Rightarrow +$
При $x < -3$: $(-)(-)/(-) \Rightarrow -$
Нам нужно, где выражение $\leq 0$. Это промежутки $(-\infty, -3] \cup (1, 4]$.

Найдем пересечение полученного решения $(-\infty, -3] \cup (1, 4]$ с ОДЗ $x \in (1, 5)$.
Пересечением является промежуток $(1, 4]$.
Ответ: $x \in (1, 4]$.