Номер 46, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. При каких значениях $b$ уравнение $2\log_6(x+2) = \log_6 3bx$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение: $2\log_6(x+2) = \log_6(3bx)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3bx > 0\end{cases}$

Из первого неравенства следует $x > -2$. Второе неравенство $3bx > 0$ зависит от знака параметра $b$.

Заметим, что при $b = 0$ правая часть уравнения $\log_6(0)$ не определена, поэтому $b \neq 0$.

Рассмотрим два случая для ОДЗ:

1. Если $b > 0$, то из $3bx > 0$ следует $x > 0$. С учетом условия $x > -2$, ОДЗ в этом случае: $x > 0$.

2. Если $b < 0$, то из $3bx > 0$ следует $x < 0$. С учетом условия $x > -2$, ОДЗ в этом случае: $-2 < x < 0$.

Теперь решим само уравнение. Используя свойство логарифма $n\log_a c = \log_a (c^n)$, преобразуем левую часть:

$\log_6((x+2)^2) = \log_6(3bx)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x+2)^2 = 3bx$

$x^2 + 4x + 4 = 3bx$

$x^2 + (4 - 3b)x + 4 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение имеет единственный корень, если:
а) полученное квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень входит в ОДЗ.
б) полученное квадратное уравнение имеет два корня, но только один из них входит в ОДЗ.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:

$D = (4 - 3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 24b + 9b^2 - 16 = 9b^2 - 24b = 3b(3b-8)$.

Случай а) Дискриминант равен нулю ($D=0$)

$D = 0 \implies 3b(3b-8) = 0$.

Отсюда $b=0$ или $b = 8/3$. Как мы выяснили ранее, $b \neq 0$.

Проверим $b = 8/3$. Это значение попадает в категорию $b > 0$, для которой ОДЗ: $x > 0$.

При $D=0$ квадратное уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{4-3b}{2} = \frac{3b-4}{2}$.

Подставим $b = 8/3$: $x = \frac{3(8/3) - 4}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x > 0$). Следовательно, при $b = 8/3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай б) Дискриминант больше нуля ($D>0$)

$D > 0 \implies 3b(3b-8) > 0$. Это неравенство выполняется при $b \in (-\infty, 0) \cup (8/3, \infty)$.

Рассмотрим два подинтервала.

Подслучай б.1) $b > 8/3$.

В этом случае ОДЗ: $x > 0$. Квадратное уравнение $x^2 + (4 - 3b)x + 4 = 0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 x_2 = 4$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(4-3b) = 3b-4$.
Так как $x_1 x_2 = 4 > 0$, корни имеют одинаковый знак.
Так как $b > 8/3$, то $3b > 8$, и $3b-4 > 4$. Сумма корней положительна.
Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ положительны. Оба корня входят в ОДЗ ($x>0$). В этом случае уравнение имеет два корня, что не удовлетворяет условию задачи.

Подслучай б.2) $b < 0$.

В этом случае ОДЗ: $-2 < x < 0$. Квадратное уравнение имеет два различных корня, так как $D=3b(3b-8) > 0$ при $b < 0$.
По теореме Виета:
Произведение корней: $x_1 x_2 = 4 > 0$. Корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3b-4$. Так как $b < 0$, то $3b < 0$, и $3b-4 < -4$. Сумма корней отрицательна.
Следовательно, оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.
Нам нужно, чтобы только один из этих отрицательных корней попал в интервал $(-2, 0)$. Это означает, что один корень должен быть в интервале $(-2, 0)$, а другой должен быть меньше или равен $-2$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (4 - 3b)x + 4$. Это парабола с ветвями вверх. Чтобы один корень был меньше $-2$, а другой больше $-2$, значение функции в точке $x=-2$ должно быть отрицательным: $f(-2) < 0$.
$f(-2) = (-2)^2 + (4-3b)(-2) + 4 = 4 - 8 + 6b + 4 = 6b$.
Условие $f(-2) < 0$ дает $6b < 0$, то есть $b < 0$.
Это условие совпадает с условием рассматриваемого подслучая ($b < 0$).
Таким образом, для любого $b < 0$ один корень квадратного уравнения будет меньше $-2$ (и не войдет в ОДЗ), а другой — в интервале $(-2, 0)$ (и войдет в ОДЗ). Это удовлетворяет условию задачи.

Объединяя все найденные значения $b$, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $b \in (-\infty, 0)$ и при $b = 8/3$.

Ответ: $b \in (-\infty, 0) \cup \{8/3\}$.