Номер 39, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите уравнение:

1) $\log_6(5x + 6) = 3;$

2) $\log_{0.5}(x + 9) = -4;$

3) $\log_{\frac{1}{64}}(x^2 + 4x) = -\frac{5}{6};$

4) $\log_{27} \log_{\sqrt[3]{3}} \log_7 x = \frac{1}{3};$

5) $\lg(11 - 10x) = 1 - x;$

6) $\log_{x-3}(2x^2 - 8x + 1) = 2.$

1) $ \log_{6}(5x + 6) = 3 $

Для решения данного логарифмического уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$ 5x + 6 > 0 $
$ 5x > -6 $
$ x > -1.2 $

Теперь, используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), преобразуем уравнение:
$ 5x + 6 = 6^3 $
$ 5x + 6 = 216 $
$ 5x = 216 - 6 $
$ 5x = 210 $
$ x = \frac{210}{5} $
$ x = 42 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:
$ 42 > -1.2 $. Условие выполняется.
Ответ: 42.

2) $ \log_{0.5}(x + 9) = -4 $

ОДЗ: $ x + 9 > 0 \implies x > -9 $.

По определению логарифма:
$ x + 9 = (0.5)^{-4} $
Так как $ 0.5 = \frac{1}{2} $, то:
$ x + 9 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $
$ x + 9 = 2^4 $
$ x + 9 = 16 $
$ x = 16 - 9 $
$ x = 7 $

Проверка ОДЗ: $ 7 > -9 $. Корень подходит.
Ответ: 7.

3) $ \log_{\frac{1}{64}}(x^2 + 4x) = -\frac{5}{6} $

ОДЗ: $ x^2 + 4x > 0 \implies x(x + 4) > 0 $.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 + 4x = \left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{5}{6}} $
Представим основание $ \frac{1}{64} $ как степень двойки: $ \frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6} $.
$ x^2 + 4x = (2^{-6})^{-\frac{5}{6}} $
$ x^2 + 4x = 2^{(-6) \cdot (-\frac{5}{6})} $
$ x^2 + 4x = 2^5 $
$ x^2 + 4x = 32 $
$ x^2 + 4x - 32 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ x_1 + x_2 = -4 $.
Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -32 $.
Корни уравнения: $ x_1 = -8 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверка ОДЗ:
Корень $ x_1 = -8 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -4) $, следовательно, является решением.
Корень $ x_2 = 4 $ принадлежит интервалу $ (0; +\infty) $, следовательно, является решением.
Ответ: -8; 4.

4) $ \log_{27} \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = \frac{1}{3} $

ОДЗ для этого вложенного логарифма определяется последовательно для каждого аргумента:
1. $ x > 0 $
2. $ \log_{7} x > 0 \implies \log_{7} x > \log_{7} 1 \implies x > 1 $
3. $ \log_{\sqrt[3]{3}} (\log_{7} x) > 0 \implies \log_{7} x > (\sqrt[3]{3})^0 \implies \log_{7} x > 1 \implies x > 7^1 \implies x > 7 $
Итоговая ОДЗ: $ x > 7 $.

Решаем уравнение последовательно, начиная с внешнего логарифма:
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = 27^{\frac{1}{3}} $
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = (3^3)^{\frac{1}{3}} $
$ \log_{\sqrt[3]{3}} \log_{7} x = 3 $

Теперь решаем для следующего логарифма:
$ \log_{7} x = (\sqrt[3]{3})^3 $
$ \log_{7} x = (3^{\frac{1}{3}})^3 $
$ \log_{7} x = 3 $

Наконец, находим $x$:
$ x = 7^3 $
$ x = 343 $

Проверка ОДЗ: $ 343 > 7 $. Корень подходит.
Ответ: 343.

5) $ \lg(11 - 10^x) = 1 - x $

Здесь $ \lg $ — это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).
ОДЗ: $ 11 - 10^x > 0 \implies 10^x < 11 $.

По определению логарифма:
$ 11 - 10^x = 10^{1-x} $
$ 11 - 10^x = \frac{10^1}{10^x} $

Сделаем замену переменной: пусть $ y = 10^x $. Так как показательная функция всегда положительна, $ y > 0 $.
$ 11 - y = \frac{10}{y} $
Умножим обе части на $ y $ (так как $y \neq 0$):
$ 11y - y^2 = 10 $
$ y^2 - 11y + 10 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ y_1 + y_2 = 11 $.
Произведение корней: $ y_1 \cdot y_2 = 10 $.
Корни: $ y_1 = 1 $, $ y_2 = 10 $. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:
1) $ 10^x = y_1 = 1 \implies 10^x = 10^0 \implies x_1 = 0 $
2) $ 10^x = y_2 = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x_2 = 1 $

Проверим корни по ОДЗ ($ 10^x < 11 $):
Для $ x_1 = 0 $: $ 10^0 = 1 $. $ 1 < 11 $, корень подходит.
Для $ x_2 = 1 $: $ 10^1 = 10 $. $ 10 < 11 $, корень подходит.
Ответ: 0; 1.

6) $ \log_{x-3}(2x^2 - 8x + 1) = 2 $

Это уравнение с переменной в основании логарифма, поэтому ОДЗ имеет несколько условий:
1. Аргумент логарифма положителен: $ 2x^2 - 8x + 1 > 0 $.
2. Основание логарифма положительно: $ x - 3 > 0 \implies x > 3 $.
3. Основание логарифма не равно единице: $ x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4 $.
Общая ОДЗ для $ x $: $ x \in (3; 4) \cup (4; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ 2x^2 - 8x + 1 = (x-3)^2 $
$ 2x^2 - 8x + 1 = x^2 - 6x + 9 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6x + 1 - 9 = 0 $
$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
Сумма корней: $ x_1 + x_2 = 2 $.
Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = -8 $.
Корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 4 $. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ x > 3 $. Следовательно, это также посторонний корень.
Так как оба найденных корня не удовлетворяют ОДЗ, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.