Номер 41, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите уравнение:

1) $\log_6(x+1) + \log_6(2x+1) = 1;$

2) $\log_3(x-2) = 2 - \log_3(x-10);$

3) $\log_7(x+8) - \log_7(x+2) = \log_7(6-x);$

4) $\log_{\sqrt{2}}(49^x - 5) - \log_{\sqrt{2}}(2 \cdot 7^x - 3) = 4;$

5) $\log_4(x+3) + 3\log_{64}(x+15) = 3;$

6) $\lg 8 - \frac{1}{2}\lg(x+6) = \lg 16 - \lg(x-2);$

7) $2\log_5(4-x) - \log_5(2-x)^2 = 2.$

1) Исходное уравнение: $log_6(x + 1) + log_6(2x + 1) = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \implies x > -0.5$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$log_6((x + 1)(2x + 1)) = 1$.
По определению логарифма:
$(x + 1)(2x + 1) = 6^1$
$2x^2 + 2x + x + 1 = 6$
$2x^2 + 3x - 5 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > -0.5$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > -0.5$.
$x_2 = -2.5$ не удовлетворяет условию, так как $-2.5 \ngtr -0.5$.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $log_3(x - 2) = 2 - log_3(x - 10)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 10 \end{cases} \implies x > 10$.
Перенесем логарифм в левую часть:
$log_3(x - 2) + log_3(x - 10) = 2$
$log_3((x - 2)(x - 10)) = 2$
$(x - 2)(x - 10) = 3^2$
$x^2 - 10x - 2x + 20 = 9$
$x^2 - 12x + 11 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 11$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 10$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию.
$x_2 = 11$ удовлетворяет условию.
Ответ: $11$.

3) Исходное уравнение: $log_7(x + 8) - log_7(x + 2) = log_7(6 - x)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -8 \\ x > -2 \\ x < 6 \end{cases} \implies -2 < x < 6$.
Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:
$log_7\frac{x + 8}{x + 2} = log_7(6 - x)$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$\frac{x + 8}{x + 2} = 6 - x$
$x + 8 = (6 - x)(x + 2)$
$x + 8 = 6x + 12 - x^2 - 2x$
$x + 8 = -x^2 + 4x + 12$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ ($-2 < x < 6$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -1$ удовлетворяет условию.
Ответ: $-1; 4$.

4) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{2}}(49^x - 5) - log_{\sqrt{2}}(2 \cdot 7^x - 3) = 4$.
ОДЗ: $\begin{cases} 49^x - 5 > 0 \\ 2 \cdot 7^x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (7^x)^2 > 5 \\ 7^x > 1.5 \end{cases}$.
Так как $7^x > 1.5$, то $(7^x)^2 > 2.25$. Условие $(7^x)^2 > 5$ является более строгим. Из него следует, что $7^x > \sqrt{5}$. Значит, ОДЗ: $7^x > \sqrt{5}$.
$log_{\sqrt{2}}\frac{49^x - 5}{2 \cdot 7^x - 3} = 4$
$\frac{49^x - 5}{2 \cdot 7^x - 3} = (\sqrt{2})^4 = 4$
Сделаем замену $y = 7^x$, где $y > \sqrt{5}$:
$\frac{y^2 - 5}{2y - 3} = 4$
$y^2 - 5 = 4(2y - 3)$
$y^2 - 5 = 8y - 12$
$y^2 - 8y + 7 = 0$
По теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = 7$.
Проверяем по условию $y > \sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.23$):
$y_1 = 1$ не удовлетворяет условию.
$y_2 = 7$ удовлетворяет условию.
Возвращаемся к замене: $7^x = 7 \implies x = 1$.
Ответ: $1$.

5) Исходное уравнение: $log_4(x + 3) + 3log_{64}(x + 15) = 3$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases} \implies x > -3$.
Приведем логарифмы к одному основанию 4, используя формулу $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$:
$log_{64}(x + 15) = log_{4^3}(x + 15) = \frac{1}{3}log_4(x + 15)$.
Уравнение принимает вид:
$log_4(x + 3) + 3 \cdot \frac{1}{3}log_4(x + 15) = 3$
$log_4(x + 3) + log_4(x + 15) = 3$
$log_4((x + 3)(x + 15)) = 3$
$(x + 3)(x + 15) = 4^3 = 64$
$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$
$x^2 + 18x - 19 = 0$
По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = -19$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > -3$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -19$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1$.

6) Исходное уравнение: $lg(8) - \frac{1}{2}lg(x + 6) = lg(16) - lg(x - 2)$.
ОДЗ: $\begin{cases} x + 6 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -6 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.
Сгруппируем члены с переменной и константы:
$lg(x - 2) - \frac{1}{2}lg(x + 6) = lg(16) - lg(8)$
Используем свойства логарифмов $k \cdot log_a(b) = log_a(b^k)$ и $log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)$:
$lg(x - 2) - lg(\sqrt{x + 6}) = lg(\frac{16}{8})$
$lg\frac{x - 2}{\sqrt{x + 6}} = lg(2)$
$\frac{x - 2}{\sqrt{x + 6}} = 2$
$x - 2 = 2\sqrt{x + 6}$
Возведем обе части в квадрат. Так как по ОДЗ $x > 2$, то $x - 2 > 0$, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием.
$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 6})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6)$
$x^2 - 4x + 4 = 4x + 24$
$x^2 - 8x - 20 = 0$
Решаем через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10$.
$x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $10$.

7) Исходное уравнение: $2log_5(4 - x) - log_5(2 - x)^2 = 2$.
ОДЗ: $\begin{cases} 4 - x > 0 \\ (2 - x)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x \neq 2 \end{cases}$.
Используем свойство $k \cdot log_a(b) = log_a(b^k)$:
$log_5((4 - x)^2) - log_5((2 - x)^2) = 2$
$log_5\frac{(4 - x)^2}{(2 - x)^2} = 2$
$log_5\left(\left(\frac{4 - x}{2 - x}\right)^2\right) = 2$
По определению логарифма:
$\left(\frac{4 - x}{2 - x}\right)^2 = 5^2 = 25$
Это уравнение распадается на два:
а) $\frac{4 - x}{2 - x} = 5$
$4 - x = 5(2 - x)$
$4 - x = 10 - 5x$
$4x = 6 \implies x = 1.5$.
б) $\frac{4 - x}{2 - x} = -5$
$4 - x = -5(2 - x)$
$4 - x = -10 + 5x$
$14 = 6x \implies x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x < 4, x \neq 2$):
$x_1 = 1.5$ удовлетворяет условию.
$x_2 = \frac{7}{3} \approx 2.33$ удовлетворяет условию.
Ответ: $1.5; \frac{7}{3}$.