Номер 34, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 6,3 < \log_a 5,8;$

2) $\log_a 0,7 < \log_a 1,1.$

1) $\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_{a}x$. Поведение этой функции напрямую зависит от ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_{a}x_2 > \log_{a}x_1$. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_{a}x_2 < \log_{a}x_1$. Знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь проанализируем заданное неравенство: $\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$.

Сравним аргументы логарифмов: $6,3$ и $5,8$.

Очевидно, что $6,3 > 5,8$.

Мы видим, что большему аргументу ($6,3$) соответствует меньшее значение логарифма ($\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$). Это означает, что знак неравенства для аргументов ($>$) противоположен знаку неравенства для их логарифмов ($<$).

Такое поведение характерно для убывающей функции, что, в свою очередь, означает, что основание логарифма $a$ находится в интервале от 0 до 1.

Ответ: $0 < a < 1$.

2) $\log_{a}0,7 < \log_{a}1,1$

Воспользуемся теми же свойствами логарифмической функции, что и в предыдущем пункте.

Сначала сравним аргументы логарифмов: $0,7$ и $1,1$.

Очевидно, что $0,7 < 1,1$.

Теперь посмотрим на неравенство для логарифмов: $\log_{a}0,7 < \log_{a}1,1$.

В данном случае меньшему аргументу ($0,7$) соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их логарифмов ($<$).

Такое поведение характерно для возрастающей функции. Следовательно, основание логарифма $a$ больше 1.

Ответ: $a > 1$.