Номер 27, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите значение выражения:

1) $(\log_8 128 - \log_8 2 + 10^{\log 4})^{\log_6 10}$;

2) $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$.

1) $(\log_8 128 - \log_8 2 + 10^{\lg 4})^{\log_6 10}$

Решим данное выражение по частям, начав с выражения в скобках.

1. Упростим разность логарифмов, используя свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\log_8 128 - \log_8 2 = \log_8 (128/2) = \log_8 64$.

Поскольку $8^2 = 64$, то $\log_8 64 = 2$.

2. Упростим слагаемое $10^{\lg 4}$. Запись $\lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$10^{\lg 4} = 10^{\log_{10} 4} = 4$.

3. Теперь найдем значение всего выражения в скобках:

$(\log_8 128 - \log_8 2) + 10^{\lg 4} = 2 + 4 = 6$.

4. Подставим полученное значение в исходное выражение:

$(6)^{\log_6 10}$.

Вновь применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 10} = 10$.

Ответ: 10

2) $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель: $3\lg 2 - \lg 0,5$.

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:

$3\lg 2 = \lg(2^3) = \lg 8$.

Теперь числитель имеет вид $\lg 8 - \lg 0,5$. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:

$\lg 8 - \lg 0,5 = \lg(8 / 0,5) = \lg(16)$.

2. Упростим знаменатель: $\lg 0,4 + \lg 1,25$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\lg 0,4 + \lg 1,25 = \lg(0,4 \cdot 1,25)$.

Вычислим произведение: $0,4 \cdot 1,25 = 0,5$.

Следовательно, знаменатель равен $\lg 0,5$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\lg 16}{\lg 0,5}$.

Представим числа 16 и 0,5 в виде степеней двойки: $16 = 2^4$ и $0,5 = 1/2 = 2^{-1}$.

$\frac{\lg(2^4)}{\lg(2^{-1})}$.

Используем свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \log_a b$:

$\frac{4\lg 2}{-1\lg 2}$.

Сократим $\lg 2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{-1} = -4$.

Ответ: -4