Номер 24, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2} \log_2 32;$

2) $\log_4 \cos \frac{\pi}{4};$

3) $\log_{169} 13 - \log_3 \frac{1}{81} + 9 \log_3 \sqrt[3]{3};$

4) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9;$

5) $\log_7 147 - \log_7 3;$

6) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2};$

7) $\log_{\sqrt{3}} 243;$

8) $5^{4\log_5 10};$

9) $64^{1 - \log_4 6};$

10) $13^{\frac{3}{\lg 13}}.$

1) $\log_{0,2} \log_2 32$

Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_2 32$. Так как $32 = 2^5$, то $\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5$.

Теперь выражение принимает вид $\log_{0,2} 5$.

Основание логарифма $0,2$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{5}$ или $5^{-1}$.

Получаем $\log_{5^{-1}} 5$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, имеем:

$\log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} \log_5 5 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $-1$

2) $\log_4 \cos\frac{\pi}{4}$

Сначала найдем значение $\cos\frac{\pi}{4}$. Из тригонометрии известно, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выражение принимает вид $\log_4 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Представим основание 4 и аргумент $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде степеней числа 2.

$4 = 2^2$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2}$

Подставляем в исходное выражение: $\log_{2^2} (2^{-1/2})$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{2^2} (2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{2} \log_2 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$

3) $\log_{169} 13 - \log_3 \frac{1}{81} + 9\log_3 \sqrt[3]{3}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

1. $\log_{169} 13 = \log_{13^2} 13 = \frac{1}{2} \log_{13} 13 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 (81^{-1}) = \log_3 ((3^4)^{-1}) = \log_3 (3^{-4}) = -4$.

3. $9\log_3 \sqrt[3]{3} = 9\log_3 (3^{1/3}) = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 3 = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 3$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $\frac{1}{2} - (-4) + 3 = \frac{1}{2} + 4 + 3 = 7 + \frac{1}{2} = 7,5$.

Ответ: $7,5$

4) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$.

$\log_{12} 16 + \log_{12} 9 = \log_{12} (16 \cdot 9) = \log_{12} 144$.

Так как $144 = 12^2$, получаем:

$\log_{12} 144 = \log_{12} (12^2) = 2$.

Ответ: $2$

5) $\log_7 147 - \log_7 3$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.

$\log_7 147 - \log_7 3 = \log_7 (\frac{147}{3}) = \log_7 49$.

Так как $49 = 7^2$, получаем:

$\log_7 49 = \log_7 (7^2) = 2$.

Ответ: $2$

6) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В нашем случае формула применена в обратную сторону.

$\frac{\log_6 128}{\log_6 2} = \log_2 128$.

Так как $128 = 2^7$, получаем:

$\log_2 128 = \log_2 (2^7) = 7$.

Ответ: $7$

7) $\log_{\sqrt{3}} 243$

Представим основание $\sqrt{3}$ и аргумент 243 в виде степеней числа 3.

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$243 = 3^5$

Подставляем в исходное выражение: $\log_{3^{1/2}} (3^5)$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{3^{1/2}} (3^5) = \frac{5}{1/2} \log_3 3 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$

8) $5^{4\log_5 10}$

Используем свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$4\log_5 10 = \log_5 (10^4) = \log_5 10000$.

Теперь выражение принимает вид $5^{\log_5 10000}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 10000} = 10000$.

Ответ: $10000$

9) $64^{1-\log_4 6}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$64^{1-\log_4 6} = \frac{64^1}{64^{\log_4 6}}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Представим 64 как степень 4: $64 = 4^3$.

$64^{\log_4 6} = (4^3)^{\log_4 6} = 4^{3\log_4 6}$.

Используя свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$, получаем:

$4^{3\log_4 6} = 4^{\log_4 (6^3)} = 4^{\log_4 216}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $4^{\log_4 216} = 216$.

Возвращаемся к дроби: $\frac{64}{216}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$\frac{64 \div 8}{216 \div 8} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$

10) $13^{\frac{3}{\lg 13}}$

Запись $\lg 13$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 13$.

Выражение имеет вид $13^{\frac{3}{\log_{10} 13}}$.

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{3}{\log_{10} 13} = 3 \cdot \frac{1}{\log_{10} 13} = 3 \log_{13} 10$.

Теперь используем свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$3 \log_{13} 10 = \log_{13} (10^3) = \log_{13} 1000$.

Подставляем полученное выражение в показатель степени: $13^{\log_{13} 1000}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$13^{\log_{13} 1000} = 1000$.

Ответ: $1000$