Номер 28, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Вычислите значение выражения

$5^{\left(\frac{3}{\log_{3\sqrt{3}}5} + \frac{1}{4}\log_5 16\right)} - 8\log_6 \left(\sqrt[5]{6}\sqrt[4]{6}\right)$

Для вычисления значения выражения, упростим его по частям.

1. Упрощение первого слагаемого $5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5} + \frac{1}{4}\log_5 16}$

Сначала преобразуем показатель степени. Он состоит из двух слагаемых.

Рассмотрим первое слагаемое в показателе: $\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ и представим основание $\sqrt[3]{3}$ как $3^{1/3}$:
$\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}5} = 3 \cdot \log_5(\sqrt[3]{3}) = 3 \cdot \log_5(3^{1/3})$.
Теперь применим свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$3 \cdot \frac{1}{3} \log_5 3 = \log_5 3$.

Рассмотрим второе слагаемое в показателе: $\frac{1}{4}\log_5 16$.
Представим $16$ как $2^4$ и воспользуемся тем же свойством $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$\frac{1}{4}\log_5(2^4) = \frac{1}{4} \cdot 4 \log_5 2 = \log_5 2$.

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти весь показатель степени:
$\log_5 3 + \log_5 2$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_5 3 + \log_5 2 = \log_5(3 \cdot 2) = \log_5 6$.

Подставим полученный показатель обратно в первое слагаемое исходного выражения:
$5^{\log_5 6}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$5^{\log_5 6} = 6$.

2. Упрощение второго слагаемого $-8 \log_6 \sqrt[5]{6\sqrt[4]{6}}$

Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма: $\sqrt[5]{6\sqrt[4]{6}}$.
Начнем изнутри: $6\sqrt[4]{6} = 6^1 \cdot 6^{1/4}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$6^{1 + 1/4} = 6^{5/4}$.
Теперь извлечем корень 5-й степени:
$\sqrt[5]{6^{5/4}} = (6^{5/4})^{1/5}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$6^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 6^{1/4}$.

Подставим упрощенное выражение обратно во второе слагаемое:
$-8 \log_6 (6^{1/4})$.
Вынесем показатель степени за знак логарифма, используя свойство $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$:
$-8 \cdot \frac{1}{4} \log_6 6$.
Так как $\log_a a = 1$, то $\log_6 6 = 1$.
$-8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = -2$.

3. Вычисление итогового значения

Сложим значения двух упрощенных частей выражения:
$6 + (-2) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4