Номер 33, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сравните с нулём:

1) $log_5 9;$

2) $log_{0,2} 0,7;$

3) $log_6 0,3;$

4) $log_{\frac{1}{6}} 12.$

Для сравнения значения логарифма $log_a b$ с нулём, можно воспользоваться тем, что $0 = log_a 1$ для любого допустимого основания $a$. Знак логарифма определяется тем, находятся ли основание $a$ и аргумент $b$ по одну сторону от единицы или по разные.

Правило сравнения:

• Если основание $a$ и аргумент $b$ одновременно больше 1 ($a>1, b>1$) или одновременно меньше 1 ($0<a<1, 0<b<1$), то логарифм положителен: $log_a b > 0$.
• Если основание $a$ больше 1, а аргумент $b$ меньше 1 ($a>1, 0<b<1$), или наоборот ($0<a<1, b>1$), то логарифм отрицателен: $log_a b < 0$.

1) $log_5 9$

Основание $a = 5 > 1$ и аргумент $b = 9 > 1$. Так как основание и аргумент оба больше 1, они находятся по одну сторону от единицы, следовательно, логарифм положителен.

Ответ: $log_5 9 > 0$

2) $log_{0,2} 0,7$

Основание $a = 0,2$, что находится в интервале $(0; 1)$. Аргумент $b = 0,7$, что также находится в интервале $(0; 1)$. Так как основание и аргумент оба меньше 1, они находятся по одну сторону от единицы, следовательно, логарифм положителен.

Ответ: $log_{0,2} 0,7 > 0$

3) $log_6 0,3$

Основание $a = 6 > 1$, а аргумент $b = 0,3$ находится в интервале $(0; 1)$. Так как основание больше 1, а аргумент меньше 1, они находятся по разные стороны от единицы, следовательно, логарифм отрицателен.

Ответ: $log_6 0,3 < 0$

4) $log_{\frac{1}{6}} 12$

Основание $a = \frac{1}{6}$, что находится в интервале $(0; 1)$, а аргумент $b = 12 > 1$. Так как основание меньше 1, а аргумент больше 1, они находятся по разные стороны от единицы, следовательно, логарифм отрицателен.

Ответ: $log_{\frac{1}{6}} 12 < 0$