Номер 38, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Постройте график функции:

1) $y = \log_4(x - 3);$

2) $y = \log_4 x - 3;$

3) $y = -\log_4 x;$

4) $y = \log_4(-x);$

5) $y = |\log_4 x|;$

6) $y = \log_4 |x|.$

Для построения графиков в данной задаче мы будем использовать преобразования графика основной логарифмической функции $y = \log_4 x$. График этой функции является возрастающей кривой, определенной для всех $x > 0$. Он проходит через ключевые точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$, и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy).

1) Для функции $y = \log_4(x - 3)$.
Это преобразование вида $f(x-c)$, где $c=3$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

• Область определения функции: $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$.
• Вертикальная асимптота смещается вправо и становится прямой $x = 3$.
• Ключевые точки смещаются вправо: $(1, 0)$ переходит в $(4, 0)$, а $(4, 1)$ переходит в $(7, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_4(x-3)$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

2) Для функции $y = \log_4 x - 3$.
Это преобразование вида $f(x) - c$, где $c=3$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.

• Область определения функции остается прежней: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Ключевые точки смещаются вниз: $(1, 0)$ переходит в $(1, -3)$, а $(4, 1)$ переходит в $(4, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_4 x - 3$ получается из графика $y = \log_4 x$ параллельным переносом на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

3) Для функции $y = -\log_4 x$.
Это преобразование вида $-f(x)$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его симметричного отражения относительно оси Ox.

• Область определения: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Возрастающая функция $y = \log_4 x$ становится убывающей.
• Ключевые точки: $(1, 0)$ остается на месте, а $(4, 1)$ переходит в $(4, -1)$. Точка $(1/4, -1)$ переходит в $(1/4, 1)$.

Ответ: График функции $y = -\log_4 x$ симметричен графику функции $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.

4) Для функции $y = \log_4(-x)$.
Это преобразование вида $f(-x)$. График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ путем его симметричного отражения относительно оси Oy.

• Область определения: $-x > 0$, то есть $x < 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$ не изменяется.
• Ключевые точки: $(1, 0)$ переходит в $(-1, 0)$, а $(4, 1)$ переходит в $(-4, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_4(-x)$ симметричен графику функции $y = \log_4 x$ относительно оси Oy.

5) Для функции $y = |\log_4 x|$.
Это преобразование вида $y = |f(x)|$. Для построения этого графика необходимо ту часть графика $y = \log_4 x$, которая лежит ниже оси Ox, отразить симметрично вверх относительно этой оси, а остальную часть графика оставить без изменений.

• При $x \ge 1$, $\log_4 x \ge 0$, поэтому $y = \log_4 x$. Эта часть графика не меняется.
• При $0 < x < 1$, $\log_4 x < 0$, поэтому $y = - \log_4 x$. Эта часть графика является отражением соответствующей части $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.
• Область определения: $x > 0$. Область значений: $y \ge 0$.
• Вертикальная асимптота $x=0$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Ответ: Часть графика $y = \log_4 x$, лежащая не ниже оси абсцисс (при $x \ge 1$), сохраняется, а часть графика, лежащая ниже оси абсцисс (при $0 < x < 1$), симметрично отражается относительно оси абсцисс.

6) Для функции $y = \log_4|x|$.
Это преобразование вида $y = f(|x|)$. Функция является четной, т.к. $\log_4|-x| = \log_4|x|$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

• Для $x > 0$, $|x| = x$, и график совпадает с графиком $y = \log_4 x$.
• Для $x < 0$, график строится как симметричное отражение части графика для $x > 0$ относительно оси Oy.
• Область определения: $|x| > 0$, то есть $x \ne 0$.
• Вертикальная асимптота $x = 0$.

Ответ: График функции $y = \log_4|x|$ состоит из графика функции $y = \log_4 x$ (для $x > 0$) и кривой, симметричной ему относительно оси ординат.