Номер 45, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Выясните, при каких значениях $a$ данное уравнение имеет корни, и найдите их:

1) $\log_{\frac{1}{6}}(3x - a) = \log_{\frac{1}{6}}(x + 4);$

2) $\log_5(x^2 - 4ax) = \log_5(3 - 2x - 4a).$

1)

Дано уравнение $ \log_{\frac{1}{6}}(3x - a) = \log_{\frac{1}{6}}(x + 4) $. Поскольку основания логарифмов равны, уравнение равносильно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия их положительности. Достаточно потребовать, чтобы одно из них было положительным, так как из равенства будет следовать положительность и второго.

$$ \begin{cases} 3x - a = x + 4 \\ x + 4 > 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы выразим $x$ через $a$:

$3x - x = a + 4$

$2x = a + 4$

$x = \frac{a+4}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ во второе неравенство системы, чтобы найти значения $a$, при которых корень существует (т.е. принадлежит области допустимых значений):

$\frac{a+4}{2} + 4 > 0$

Умножим обе части на 2:

$a + 4 + 8 > 0$

$a + 12 > 0$

$a > -12$

Таким образом, уравнение имеет корень только при $a > -12$, и этот корень равен $x = \frac{a+4}{2}$.

Ответ: при $a \in (-12; +\infty)$ уравнение имеет один корень $x = \frac{a+4}{2}$.

2)

Дано уравнение $ \log_{5}(x^2 - 4ax) = \log_{5}(3 - 2x - 4a) $.

Уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - 4ax = 3 - 2x - 4a \\ 3 - 2x - 4a > 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы относительно $x$, преобразовав его в стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4ax + 2x + 4a - 3 = 0$

$x^2 + (2 - 4a)x + (4a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (2 - 4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a - 3) = 4 - 16a + 16a^2 - 16a + 12 = 16a^2 - 32a + 16 = 16(a^2 - 2a + 1) = 16(a - 1)^2$.

Поскольку $D = (4(a-1))^2 \ge 0$ для любых значений $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$x = \frac{-(2 - 4a) \pm \sqrt{16(a - 1)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 4|a - 1|}{2} = 2a - 1 \pm 2|a - 1|$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $a > 1$

В этом случае $|a-1| = a-1$.

$x_1 = 2a - 1 + 2(a - 1) = 4a - 3$

$x_2 = 2a - 1 - 2(a - 1) = 1$

Проверим для каждого корня выполнение условия $3 - 2x - 4a > 0$.

Для $x_1 = 4a - 3$: $3 - 2(4a - 3) - 4a > 0 \implies 3 - 8a + 6 - 4a > 0 \implies 9 - 12a > 0 \implies a < \frac{3}{4}$. Это противоречит условию $a > 1$.

Для $x_2 = 1$: $3 - 2(1) - 4a > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies a < \frac{1}{4}$. Это также противоречит условию $a > 1$.

Следовательно, при $a > 1$ корней нет.

Случай 2: $a = 1$

В этом случае $D=0$, и уравнение имеет один корень $x = 2a - 1 = 2(1) - 1 = 1$.

Проверим условие: $3 - 2(1) - 4(1) > 0 \implies -3 > 0$. Неравенство неверно, значит при $a=1$ корней нет.

Случай 3: $a < 1$

В этом случае $|a-1| = -(a-1) = 1-a$.

$x_1 = 2a - 1 + 2(1 - a) = 1$

$x_2 = 2a - 1 - 2(1 - a) = 4a - 3$

Проверим условие $3 - 2x - 4a > 0$ для каждого корня.

Для $x_1 = 1$: $3 - 2(1) - 4a > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies a < \frac{1}{4}$.

Для $x_2 = 4a - 3$: $3 - 2(4a - 3) - 4a > 0 \implies 9 - 12a > 0 \implies a < \frac{3}{4}$.

Теперь объединим полученные результаты. Изначальное уравнение имеет корни, если найденные значения $x$ удовлетворяют неравенствам для $a$.

• Если $a < \frac{1}{4}$, то выполняются оба условия ($a < \frac{1}{4}$ и $a < \frac{3}{4}$). Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4a - 3$.
• Если $\frac{1}{4} \le a < \frac{3}{4}$, то выполняется только второе условие ($a < \frac{3}{4}$), а первое ($a < \frac{1}{4}$) - нет. Значит, корень $x_1=1$ не подходит. Уравнение имеет один корень: $x = 4a - 3$.
• Если $a \ge \frac{3}{4}$ (и при этом $a < 1$), то ни одно из условий не выполняется, и корней нет.

Ответ: при $a < \frac{1}{4}$ уравнение имеет два корня $x_1 = 1$, $x_2 = 4a-3$; при $\frac{1}{4} \le a < \frac{3}{4}$ уравнение имеет один корень $x = 4a-3$; при $a \ge \frac{3}{4}$ уравнение не имеет корней.