Номер 44, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите уравнение:

1) $\frac{2 \log_2(-x)}{\log_2(-4 - 5x)} = 1;$

2) $\frac{\log_6(x^2 - 7x + 16) - 1}{\log_5(x - 4)} = 0.$

1) $\frac{2\log_{2}(-x)}{\log_{2}(-4-5x)} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} -x > 0 \\ -4-5x > 0 \\ \log_{2}(-4-5x) \neq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $-x > 0 \implies x < 0$

2. $-4-5x > 0 \implies -5x > 4 \implies x < -\frac{4}{5}$

3. $\log_{2}(-4-5x) \neq 0 \implies -4-5x \neq 2^0 \implies -4-5x \neq 1 \implies -5x \neq 5 \implies x \neq -1$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x < -\frac{4}{5}$ и $x \neq -1$. Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$.

Теперь решим само уравнение на найденной ОДЗ:

$\frac{2\log_{2}(-x)}{\log_{2}(-4-5x)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $\log_{2}(-4-5x)$:

$2\log_{2}(-x) = \log_{2}(-4-5x)$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{2}((-x)^2) = \log_{2}(-4-5x)$

$\log_{2}(x^2) = \log_{2}(-4-5x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -4 - 5x$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$).

Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -1$.

Ответ: $-4$.

2) $\frac{\log_{6}(x^2 - 7x + 16) - 1}{\log_{5}(x - 4)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и существует.

Таким образом, решение уравнения сводится к решению системы:

$\begin{cases} \log_{6}(x^2 - 7x + 16) - 1 = 0 \\ \log_{5}(x - 4) \neq 0 \\ x^2 - 7x + 16 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы (числитель равен нулю):

$\log_{6}(x^2 - 7x + 16) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - 7x + 16 = 6^1$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Получаем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

2. Теперь проверим эти корни на соответствие остальным условиям системы.

Проверим условие $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.

Для $x_1 = 2$: неравенство $2 > 4$ не выполняется. Значит, $x = 2$ — посторонний корень.

Для $x_2 = 5$: неравенство $5 > 4$ выполняется. Проверяем следующее условие.

Проверим условие $\log_{5}(x - 4) \neq 0$.

Подставим $x_2 = 5$: $\log_{5}(5 - 4) = \log_{5}(1) = 0$. Это нарушает условие, так как знаменатель обращается в ноль. Значит, $x = 5$ также является посторонним корнем.

Последнее условие $x^2 - 7x + 16 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен.

Поскольку ни один из потенциальных корней не удовлетворяет всем условиям, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.