Номер 47, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Каждому неравенству, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие изображение его множества решений из правого столбца.

Неравенства

А) $\log_{0,5} x \le 1$

Б) $\log_{0,5} x \ge 1$

В) $\log_{0,5} x \le -1$

Г) $\log_{0,5} x \ge -1$

Изображения множеств решений

1)

2)

3)

4)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Для решения этой задачи необходимо решить каждое логарифмическое неравенство, учитывая область определения логарифма (ОДЗ) и свойство монотонности логарифмической функции.

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Для всех четырех неравенств это означает $x > 0$.

2. Свойство функции. Основание логарифма равно 0,5. Так как основание находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{0.5} x$ является убывающей. Это значит, что при решении неравенств вида $\log_{0.5} f(x) < \log_{0.5} g(x)$, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный: $f(x) > g(x)$.

А) $ \log_{0.5} x \le 1 $

Сначала представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5:

$1 = \log_{0.5} (0.5)^1 = \log_{0.5} 0.5$

Теперь неравенство имеет вид:

$ \log_{0.5} x \le \log_{0.5} 0.5 $

Поскольку функция убывающая, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 0.5$

Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $x \ge 0.5$. Это соответствует промежутку $[0.5, \infty)$, который изображен на рисунке 4.

Ответ: 4

Б) $ \log_{0.5} x \ge 1 $

Аналогично пункту А, $1 = \log_{0.5} 0.5$.

Неравенство принимает вид:

$ \log_{0.5} x \ge \log_{0.5} 0.5 $

Меняем знак неравенства:

$x \le 0.5$

С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 0.5$. Это соответствует промежутку $(0, 0.5]$, который изображен на рисунке 2.

Ответ: 2

В) $ \log_{0.5} x \le -1 $

Представим -1 в виде логарифма с основанием 0,5:

$-1 = \log_{0.5} (0.5)^{-1} = \log_{0.5} (\frac{1}{2})^{-1} = \log_{0.5} 2$

Неравенство принимает вид:

$ \log_{0.5} x \le \log_{0.5} 2 $

Меняем знак неравенства:

$x \ge 2$

Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $x \ge 2$. Это соответствует промежутку $[2, \infty)$, который изображен на рисунке 3.

Ответ: 3

Г) $ \log_{0.5} x \ge -1 $

Аналогично пункту В, $-1 = \log_{0.5} 2$.

Неравенство принимает вид:

$ \log_{0.5} x \ge \log_{0.5} 2 $

Меняем знак неравенства:

$x \le 2$

С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 2$. Это соответствует промежутку $(0, 2]$, который изображен на рисунке 1.

Ответ: 1

Итоговая таблица соответствий: