Номер 42, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите уравнение:

$1) \log_{5}^{2} x - 2\log_{5} x - 8 = 0;$

$2) \log_{2}^{2} x - 12\log_{2} \sqrt[3]{x} - 5 = 0;$

$3) \lg^{2} x^{2} - 5\lg x + 1 = 0;$

$4) \frac{1}{3 - \log_{7} x} + \frac{3}{1 + \log_{7} x} = 2;$

$5) \log_{3} \frac{x}{9} \cdot \log_{3} 27x = \log_{3} x^{2} + 6;$

$6) \lg (\lg x) + \lg (\lg x^{3} - 2) = 0;$

$7) \lg^{2} (100x) - \lg^{2} (10x) + \lg^{2} x = 6;$

$8) \log_{2} x - 5\log_{x} 8 = 2.$

1) $log_5^2 x - 2log_5 x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $log_5 x$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = log_5 x$. Уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $log_5 x = 4 \implies x = 5^4 = 625$.
2) $log_5 x = -2 \implies x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = 625, x_2 = \frac{1}{25}$.

2) $log_2^2 x - 12log_2 \sqrt[3]{x} - 5 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем второй член уравнения, используя свойство логарифма степени: $log_a b^c = c \cdot log_a b$.
$log_2 \sqrt[3]{x} = log_2 x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение: $log_2^2 x - 12 \cdot (\frac{1}{3}log_2 x) - 5 = 0$
$log_2^2 x - 4log_2 x - 5 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = log_2 x$. $t^2 - 4t - 5 = 0$
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 4$ и $t_1 \cdot t_2 = -5$.
Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.
2) $log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 32, x_2 = \frac{1}{2}$.

3) $lg^2 x^2 - 5lg x + 1 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем первый член: $lg^2 x^2 = (lg x^2)^2 = (2lg x)^2 = 4lg^2 x$.
Подставим в уравнение: $4lg^2 x - 5lg x + 1 = 0$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $4t^2 - 5t + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}$.
$t_1 = \frac{5+3}{8} = 1$.
$t_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = \frac{1}{4} \implies x = 10^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{10}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = \sqrt[4]{10}$.

4) $\frac{1}{3 - log_7 x} + \frac{3}{1 + log_7 x} = 2$

ОДЗ: $x > 0$, $3 - log_7 x \neq 0 \implies log_7 x \neq 3 \implies x \neq 7^3 = 343$, и $1 + log_7 x \neq 0 \implies log_7 x \neq -1 \implies x \neq 7^{-1} = \frac{1}{7}$.
Сделаем замену: пусть $t = log_7 x$. $\frac{1}{3 - t} + \frac{3}{1 + t} = 2$
Приведем к общему знаменателю $(3 - t)(1 + t)$: $\frac{1(1 + t) + 3(3 - t)}{(3 - t)(1 + t)} = 2$
$1 + t + 9 - 3t = 2(3 - t)(1 + t)$
$10 - 2t = 2(3 + 3t - t - t^2)$
$10 - 2t = 2(3 + 2t - t^2)$
$10 - 2t = 6 + 4t - 2t^2$
$2t^2 - 6t + 4 = 0$
Разделим на 2: $t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, $t_1=1, t_2=2$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_7 x = 1 \implies x = 7^1 = 7$.
2) $log_7 x = 2 \implies x = 7^2 = 49$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 7, x_2 = 49$.

5) $log_3 \frac{x}{9} \cdot log_3 27x = log_3 x^2 + 6$

ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойства логарифмов: $log_a(b/c) = log_a b - log_a c$ и $log_a(bc) = log_a b + log_a c$.
$log_3 \frac{x}{9} = log_3 x - log_3 9 = log_3 x - 2$.
$log_3 27x = log_3 27 + log_3 x = 3 + log_3 x$.
$log_3 x^2 = 2log_3 x$.
Подставим в уравнение: $(log_3 x - 2)(log_3 x + 3) = 2log_3 x + 6$
Сделаем замену: пусть $t = log_3 x$. $(t - 2)(t + 3) = 2t + 6$
$t^2 + 3t - 2t - 6 = 2t + 6$
$t^2 + t - 6 = 2t + 6$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, $t_1=4, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_3 x = 4 \implies x = 3^4 = 81$.
2) $log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 81, x_2 = \frac{1}{27}$.

6) $lg(lg x) + lg(lg x^3 - 2) = 0$

ОДЗ:
1) $x > 0$
2) $lg x > 0 \implies x > 1$
3) $lg x^3 - 2 > 0 \implies 3lg x > 2 \implies lg x > \frac{2}{3} \implies x > 10^{\frac{2}{3}}$.
Общее ОДЗ: $x > 10^{\frac{2}{3}}$.
Используем свойство суммы логарифмов: $lg(a) + lg(b) = lg(ab)$.
$lg(lg x \cdot (lg x^3 - 2)) = 0$
По определению логарифма: $lg x \cdot (lg x^3 - 2) = 10^0 = 1$
$lg x \cdot (3lg x - 2) = 1$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $t(3t - 2) = 1$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
$t_1 = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1$. Проверяем ОДЗ: $1 > \frac{2}{3}$, условие выполнено. Тогда $x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = -\frac{1}{3}$. Проверяем ОДЗ: $-\frac{1}{3} > \frac{2}{3}$ - неверно. Этот корень посторонний.
Ответ: $x = 10$.

7) $lg^2(100x) - lg^2(10x) + lg^2 x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем члены уравнения: $lg(100x) = lg 100 + lg x = 2 + lg x$.
$lg(10x) = lg 10 + lg x = 1 + lg x$.
Подставим в уравнение: $(2 + lg x)^2 - (1 + lg x)^2 + lg^2 x = 6$
Сделаем замену: пусть $t = lg x$. $(2 + t)^2 - (1 + t)^2 + t^2 = 6$
$(4 + 4t + t^2) - (1 + 2t + t^2) + t^2 = 6$
$4 + 4t + t^2 - 1 - 2t - t^2 + t^2 = 6$
$t^2 + 2t + 3 = 6$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, $t_1=1, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $lg x = -3 \implies x = 10^{-3} = 0.001$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.001$.

8) $log_2 x - 5log_x 8 = 2$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$.
$log_x 8 = \frac{log_2 8}{log_2 x} = \frac{3}{log_2 x}$.
Подставим в уравнение: $log_2 x - 5 \cdot \frac{3}{log_2 x} = 2$
$log_2 x - \frac{15}{log_2 x} = 2$
Сделаем замену: пусть $t = log_2 x$. (Из ОДЗ $x \neq 1 \implies t \neq 0$). $t - \frac{15}{t} = 2$
Умножим обе части на $t$: $t^2 - 15 = 2t$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
По теореме Виета, $t_1=5, t_2=-3$.
Возвращаемся к $x$:
1) $log_2 x = 5 \implies x = 2^5 = 32$.
2) $log_2 x = -3 \implies x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 32, x_2 = \frac{1}{8}$.