Номер 37, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,4}(3x - 14);$

2) $y = \log_{12}(9 - 8x - x^2);$

3) $y = 2\log_8(5x + 20) - \log_8(5 - x);$

4) $y = \frac{9}{\log_4(x - 12)};$

5) $y = \log_{x+9}(14 - x);$

6) $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}.$

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a f(x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a=0,4$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.
Для данной функции $y = \log_{0,4}(3x - 14)$ получаем неравенство:
$3x - 14 > 0$
$3x > 14$
$x > \frac{14}{3}$
Таким образом, область определения функции – это интервал $(\frac{14}{3}; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (\frac{14}{3}; +\infty)$.

2) Для функции $y = \log_{12}(9 - 8x - x^2)$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$9 - 8x - x^2 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2 + 8x - 9 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 8x - 9$. По теореме Виета, $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Графиком функции $f(x) = x^2 + 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.
Следовательно, $-9 < x < 1$.
Область определения функции – это интервал $(-9; 1)$.
Ответ: $D(y) = (-9; 1)$.

3) Область определения функции $y = 2\log_{8}(5x + 20) - \log_{8}(5 - x)$ является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Для этого аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 5x + 20 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
$5x > -20 \implies x > -4$
$-x > -5 \implies x < 5$
Пересечением двух полученных условий $x > -4$ и $x < 5$ является интервал $(-4; 5)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 5)$.

4) Для функции $y = \frac{9}{\log_{4}(x - 12)}$ область определения находится из следующих условий:
1. Аргумент логарифма, стоящего в знаменателе, должен быть положителен: $x - 12 > 0 \implies x > 12$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\log_{4}(x - 12) \neq 0$.
Это равносильно тому, что $x - 12 \neq 4^0$, то есть $x - 12 \neq 1 \implies x \neq 13$.
Объединяя оба условия ($x > 12$ и $x \neq 13$), получаем область определения.
Ответ: $D(y) = (12; 13) \cup (13; +\infty)$.

5) Для логарифмической функции с переменным основанием $y = \log_{g(x)}f(x)$ область определения задается системой из трех условий:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $f(x) > 0$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $g(x) > 0$.
3. Основание логарифма не должно равняться единице: $g(x) \neq 1$.
Для функции $y = \log_{x+9}(14 - x)$ получаем систему:
$\begin{cases} 14 - x > 0 \\ x + 9 > 0 \\ x + 9 \neq 1 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} x < 14 \\ x > -9 \\ x \neq -8 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем, что $x$ находится в интервале от -9 до 14, за исключением точки -8.
Ответ: $D(y) = (-9; -8) \cup (-8; 14)$.

6) Область определения функции $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}$ находится как пересечение областей определения двух ее частей. Это требует одновременного выполнения следующих условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $18 + 3x - x^2 > 0 \implies x^2 - 3x - 18 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ это $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 6$.
2. Аргумент второго логарифма (в знаменателе) положителен: $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,1}(x + 2) \neq 0 \implies x + 2 \neq (0,1)^0 \implies x + 2 \neq 1 \implies x \neq -1$.
Теперь необходимо найти пересечение всех трех условий:
$\begin{cases} -3 < x < 6 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Пересечение интервалов $(-3; 6)$ и $(-2; +\infty)$ дает интервал $(-2; 6)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x = -1$.
Ответ: $D(y) = (-2; -1) \cup (-1; 6)$.