Номер 54, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{12x}$;

2) $y = e^{x^5}$;

3) $y = e^{7x-x^2}$;

4) $y = 10^{-x}$;

5) $y = 8^{4x+1}$;

6) $y = 0.3^{\cos x}$;

7) $y = 4 \cdot 3^{0.5x^2-9}$;

8) $y = e^x(x^2 - 4x - 2)$;

9) $y = 5\sqrt{x} \cdot x^2$;

10) $y = 2^{\frac{1}{x}}(x - 3)$;

11) $y = \frac{8x + 10}{8x - 12}$;

12) $y = e^{\sin 8x}$.

1) $y = e^{12x}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = 12x$. Ее производная находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (12x)' = 12$.
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = (e^{12x})' = e^{12x} \cdot (12x)' = e^{12x} \cdot 12 = 12e^{12x}$.
Ответ: $y' = 12e^{12x}$.

2) $y = e^{x^5}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = x^5$. Используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (x^5)' = 5x^4$.
Производная исходной функции:
$y' = (e^{x^5})' = e^{x^5} \cdot (x^5)' = e^{x^5} \cdot 5x^4 = 5x^4e^{x^5}$.
Ответ: $y' = 5x^4e^{x^5}$.

3) $y = e^{7x-x^2}$
Это сложная функция вида $y=e^{u(x)}$, где $u(x) = 7x-x^2$. Используем формулу $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (7x-x^2)' = 7-2x$.
Производная исходной функции:
$y' = (e^{7x-x^2})' = e^{7x-x^2} \cdot (7x-x^2)' = e^{7x-x^2} \cdot (7-2x) = (7-2x)e^{7x-x^2}$.
Ответ: $y' = (7-2x)e^{7x-x^2}$.

4) $y = 10^{-x}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=10$ и $u(x) = -x$. Ее производная находится по формуле $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (-x)' = -1$.
Производная исходной функции:
$y' = (10^{-x})' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-x)' = 10^{-x} \ln 10 \cdot (-1) = -10^{-x}\ln 10$.
Ответ: $y' = -10^{-x}\ln 10$.

5) $y = 8^{4x+1}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=8$ и $u(x) = 4x+1$. Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (4x+1)' = 4$.
Производная исходной функции:
$y' = (8^{4x+1})' = 8^{4x+1} \ln 8 \cdot (4x+1)' = 8^{4x+1} \ln 8 \cdot 4 = 4 \cdot 8^{4x+1}\ln 8$.
Ответ: $y' = 4 \cdot 8^{4x+1}\ln 8$.

6) $y = 0,3^{\cos x}$
Это сложная показательная функция вида $y=a^{u(x)}$, где $a=0,3$ и $u(x) = \cos x$. Используем формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Производная внутренней функции: $u' = (\cos x)' = -\sin x$.
Производная исходной функции:
$y' = (0,3^{\cos x})' = 0,3^{\cos x} \ln(0,3) \cdot (\cos x)' = 0,3^{\cos x} \ln(0,3) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot 0,3^{\cos x}\ln(0,3)$.
Ответ: $y' = -\sin x \cdot 0,3^{\cos x}\ln(0,3)$.

7) $y = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9}$
Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило дифференцирования сложной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.
Здесь $a=3$ и $u(x) = 0,5x^2-9$.
Производная внутренней функции: $u' = (0,5x^2-9)' = 0,5 \cdot 2x = x$.
Производная исходной функции:
$y' = 4 \cdot (3^{0,5x^2-9})' = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9} \ln 3 \cdot (0,5x^2-9)' = 4 \cdot 3^{0,5x^2-9} \ln 3 \cdot x = 4x \cdot 3^{0,5x^2-9}\ln 3$.
Ответ: $y' = 4x \cdot 3^{0,5x^2-9}\ln 3$.

8) $y = e^x(x^2 - 4x - 2)$
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = e^x$ и $v = x^2 - 4x - 2$.
Найдем их производные: $u' = (e^x)' = e^x$ и $v' = (x^2 - 4x - 2)' = 2x - 4$.
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (e^x)'(x^2 - 4x - 2) + e^x(x^2 - 4x - 2)' = e^x(x^2 - 4x - 2) + e^x(2x - 4)$.
Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки и упростим выражение:
$y' = e^x(x^2 - 4x - 2 + 2x - 4) = e^x(x^2 - 2x - 6)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 - 2x - 6)$.

9) $y = 5\sqrt{x} \cdot x^2$
Сначала упростим функцию, используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.
$y = 5x^{1/2} \cdot x^2 = 5x^{1/2 + 2} = 5x^{5/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (5x^{5/2})' = 5 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{25}{2}x^{3/2}$.
Результат также можно записать в виде $12,5x\sqrt{x}$.
Ответ: $y' = \frac{25}{2}x^{3/2}$.

10) $y = 2\sqrt{x}(x - 3)$
(Примечание: в исходном изображении показатель степени нечеткий, решение приведено для наиболее вероятного варианта $y=2x^{1/2}(x-3)$).
Сначала упростим функцию, раскрыв скобки. Запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.
$y = 2x^{1/2}(x - 3) = 2x^{1/2} \cdot x^1 - 2x^{1/2} \cdot 3 = 2x^{3/2} - 6x^{1/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вычитания:
$y' = (2x^{3/2} - 6x^{1/2})' = (2x^{3/2})' - (6x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} - 6 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1}$.
$y' = 3x^{1/2} - 3x^{-1/2}$.
Перепишем результат с использованием корней:
$y' = 3\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 3\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$.

11) $y = \frac{8^x + 10}{8^x - 12}$
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u = 8^x + 10$ и $v = 8^x - 12$.
Найдем их производные: $u' = (8^x + 10)' = 8^x \ln 8$ и $v' = (8^x - 12)' = 8^x \ln 8$.
Подставим в формулу производной частного:
$y' = \frac{(8^x \ln 8)(8^x - 12) - (8^x + 10)(8^x \ln 8)}{(8^x - 12)^2}$.
Вынесем общий множитель $8^x \ln 8$ в числителе за скобки:
$y' = \frac{8^x \ln 8 [(8^x - 12) - (8^x + 10)]}{(8^x - 12)^2} = \frac{8^x \ln 8 (8^x - 12 - 8^x - 10)}{(8^x - 12)^2}$.
Упростим выражение в скобках:
$y' = \frac{8^x \ln 8 (-22)}{(8^x - 12)^2} = -\frac{22 \cdot 8^x \ln 8}{(8^x - 12)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{22 \cdot 8^x \ln 8}{(8^x - 12)^2}$.

12) $y = e^{\sin 8x}$
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило дважды.
$y' = (e^{\sin 8x})' = e^{\sin 8x} \cdot (\sin 8x)'$.
Теперь найдем производную от $\sin 8x$, что также является сложной функцией:
$(\sin 8x)' = \cos(8x) \cdot (8x)' = \cos(8x) \cdot 8 = 8\cos(8x)$.
Подставим это обратно в первое выражение:
$y' = e^{\sin 8x} \cdot 8\cos(8x) = 8\cos(8x)e^{\sin 8x}$.
Ответ: $y' = 8\cos(8x)e^{\sin 8x}$.