Номер 22, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Решите неравенство:

1) $7^{2x+1} + 5 \cdot 14^x - 2^{2x+1} \ge 0;$

2) $15 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot 15^{-\frac{1}{x}} < 15 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}.$

1) $7^{2x+1} + 5 \cdot 14^x - 2^{2x+1} \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$7 \cdot 7^{2x} + 5 \cdot (2 \cdot 7)^x - 2 \cdot 2^{2x} \ge 0$

$7 \cdot (7^x)^2 + 5 \cdot 2^x \cdot 7^x - 2 \cdot (2^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $2^{2x} = (2^x)^2 > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $2^{2x}$ без изменения знака неравенства:

$7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(2^x)^2} + 5 \cdot \frac{2^x \cdot 7^x}{(2^x)^2} - 2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} \ge 0$

$7 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x - 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{7}{2}\right)^x$. Так как основание степени $\frac{7}{2} > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$7t^2 + 5t - 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7t^2 + 5t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$ и $t_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.

Парабола $y = 7t^2 + 5t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства $7t^2 + 5t - 2 \ge 0$ есть объединение промежутков $t \le -1$ и $t \ge \frac{2}{7}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{2}{7}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{7}{2}\right)^x \ge \frac{2}{7}$

Представим правую часть с тем же основанием: $\frac{2}{7} = \left(\frac{7}{2}\right)^{-1}$.

$\left(\frac{7}{2}\right)^x \ge \left(\frac{7}{2}\right)^{-1}$

Так как основание степени $\frac{7}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

2) $15 \cdot 25^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot 15^{-\frac{1}{x}} < 15 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Преобразуем неравенство, представив основания степеней через простые множители 3 и 5, и перенесем все члены в левую часть:

$15 \cdot (5^2)^{-\frac{1}{x}} - 16 \cdot (3 \cdot 5)^{-\frac{1}{x}} - 15 \cdot (3^2)^{-\frac{1}{x}} < 0$

$15 \cdot 5^{-\frac{2}{x}} - 16 \cdot 3^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}} - 15 \cdot 3^{-\frac{2}{x}} < 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $9^{-\frac{1}{x}} = 3^{-\frac{2}{x}} > 0$ для любого $x$ из ОДЗ, разделим обе части неравенства на $3^{-\frac{2}{x}}$:

$15 \cdot \frac{5^{-\frac{2}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} - 16 \cdot \frac{3^{-\frac{1}{x}} \cdot 5^{-\frac{1}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} - 15 \cdot \frac{3^{-\frac{2}{x}}}{3^{-\frac{2}{x}}} < 0$

$15 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{2}{x}} - 16 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} - 15 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}$. Так как основание степени $\frac{5}{3} > 0$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$15t^2 - 16t - 15 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15t^2 - 16t - 15 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{16 - 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$ и $t_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 15t^2 - 16t - 15$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства $15t^2 - 16t - 15 < 0$ есть интервал $t_1 < t < t_2$, то есть $-\frac{3}{5} < t < \frac{5}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{5}{3}$.

Выполним обратную замену. Неравенство $t > 0$, то есть $\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} > 0$, выполняется для любых $x$ из ОДЗ. Остается решить неравенство $t < \frac{5}{3}$:

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{5}{3}$

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \left(\frac{5}{3}\right)^1$

Так как основание степени $\frac{5}{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-\frac{1}{x} < 1$

Перенесем все в одну часть и приведем к общему знаменателю:

$0 < 1 + \frac{1}{x}$

$\frac{x+1}{x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак дроби $\frac{x+1}{x}$ на каждом интервале. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Это выполняется, когда числитель и знаменатель одного знака:

1. Оба положительны: $x+1 > 0$ и $x > 0$, что дает $x > 0$.

2. Оба отрицательны: $x+1 < 0$ и $x < 0$, что дает $x < -1$.

Объединяя эти два случая, получаем решение $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.